מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3/פתרון 3

1

• חשב את הסכום [math]\displaystyle{ 1+\frac{sin(1)}{2} + \frac{sin(2)}{4}+\frac{sin(3)}{8}+...+\frac{sin(n)}{2^n} }[/math]

[רמז: סכום סדרה הנדסית [math]\displaystyle{ 1+q+...+q^{n} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} }[/math], ומשפט דה-מואבר]

נסמן [math]\displaystyle{ z=\frac{cis(1)}{2} }[/math]

לפי דה מואבר: [math]\displaystyle{ z^n = \frac{cis(n)}{2^n} }[/math]

לכן: [math]\displaystyle{ 1+z+...+z^n = 1+\frac{cis(1)}{2} + ... + \frac{cis(n)}{2^n}= \Big(1+\frac{cos(1)}{2} + ... + \frac{cos(n)}{2^n} \Big)+i \cdot \Big(1+\frac{ sin(1)}{2} + ... + \frac{sin(n)}{2^n} \Big) }[/math]

לכן הסכום המבוקש שווה [math]\displaystyle{ Im(1+z+...+z^n) }[/math]. נחשב:

[math]\displaystyle{ Im(1+z+...+z^n)=Im(\frac{1-z^{n+1}}{1-z})=Im(\frac{1-\frac{cis(n+1)}{2^{n+1}}}{1-\frac{cis(1)}{2}}) }[/math]

בשלב זה ניתן לכפול בצמוד של המכנה, לפשט את הביטוי ולקבל את החלק המדומה שהוא התשובה הסופית: [math]\displaystyle{ \frac{\frac{sin(n)}{2^n}-\frac{sin(n+1)}{2^{n-1}}+2sin(1)}{5-4cos(1)} }[/math]

• מצא את כל הפתרונות של המשוואה [math]\displaystyle{ z^5=1-i }[/math]

נמצא את ההצגה הפולארית של [math]\displaystyle{ 1-i }[/math]:

[math]\displaystyle{ r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \varphi=arctan(-1/1)=-\frac{\pi}{4} }[/math]

לכן המשוואה היא: [math]\displaystyle{ z^5=\sqrt{2} \cdot cis(-\frac{\pi}{4}+2\pi k) }[/math]

לכן לפי דה מואבר נקבל: [math]\displaystyle{ z=\sqrt[10]{2} \cdot cis(-\frac{\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5}) }[/math]

הפתרונות מתקבלים כאשר נציב [math]\displaystyle{ k=0...4 }[/math]

2

• מצא את ההיטל של הוקטור [math]\displaystyle{ (1,2) }[/math] על הישר הנפרש על ידי הוקטור [math]\displaystyle{ (2,2) }[/math]

נסמן את הוקטור הרצוי ב[math]\displaystyle{ t(2,2) }[/math]. ההפרש בין וקטור זה לבין [math]\displaystyle{ (1,2) }[/math] צריך להיות מאונך ל[math]\displaystyle{ (2,2) }[/math] לכן נקבל:

[math]\displaystyle{ 0 = (2,2) \cdot ((1,2)-t(2,2)) = (2,2) \cdot (1-2t,2-2t) = 2-4t+4-4t = 6-8t }[/math]

נקבל [math]\displaystyle{ t=\frac{3}{4} }[/math] ואז הוקטור הוא [math]\displaystyle{ (\frac{3}{2},\frac{3}{2}) }[/math]

• מצא וקטור המתחיל בראשית בצירים ומאונך לישר שמשוואתו [math]\displaystyle{ 3x-1=y }[/math]

נסדר את המשוואה לצורה [math]\displaystyle{ 3x-y=1 }[/math]. לפי המקדמים נקבל שהוקטור המאונך הוא [math]\displaystyle{ (3,-1) }[/math].

• מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים [math]\displaystyle{ (1,2,3),(1,4,5) }[/math]

נסמן ב[math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math]. הוקטור מאונך לשני הוקטורים הנתונים לכן מתקיים: [math]\displaystyle{ x+2y+3z=x+4y+5z=0 }[/math].

נבחר [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ y=1,z=-1 }[/math]. לכן התשובה היא [math]\displaystyle{ (1,1,-1) }[/math]

• מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור [math]\displaystyle{ (1,2,2) }[/math]

נסמן ב[math]\displaystyle{ t(1,2,2) }[/math]. נחשב את האורך:

[math]\displaystyle{ 1=\sqrt{(t)^2+(2t)^2+(2t)^2}=\sqrt{9t^2}=3t }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ t=\frac{1}{3} }[/math] לכן הוקטור הוא: [math]\displaystyle{ (\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}) }[/math]

• מצא נוסחא כללית לוקטור מאורך אחד בכיוון הוקטור [math]\displaystyle{ u }[/math]

נסמן את הוקטור הרצוי ב[math]\displaystyle{ t \cdot u }[/math]. נחשב את האורך: [math]\displaystyle{ 1=|t \cdot u| = t \cdot |u| }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ t=\frac{1}{|u|} }[/math] לכן הוקטור הרצוי הוא [math]\displaystyle{ \frac{1}{|u|} \cdot u }[/math]

• מצא את משוואת המישור המאונך לוקטור [math]\displaystyle{ (1,-1,5) }[/math] ועובר בנקודה [math]\displaystyle{ (1,1,1) }[/math]

כל מישור המאונך לוקטור [math]\displaystyle{ (1,-1,5) }[/math] הוא מהצורה [math]\displaystyle{ x-y+5z=D }[/math]. נציב את הוקטור [math]\displaystyle{ (1,1,1) }[/math] ונקבל:

[math]\displaystyle{ D=5 }[/math]. לכן המישור הרצוי הוא [math]\displaystyle{ x-y+5z=5 }[/math].

• מצא את כל הוקטורים מאורך אחד אשר הזוית בינם לבין הוקטור [math]\displaystyle{ (1,4) }[/math] הינה [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{3} }[/math]. כמה כאלה יש?

נסמן את הוקטור ב[math]\displaystyle{ (x,y) }[/math]. לפי הנוסחה לזווית בין וקטורים:

[math]\displaystyle{ cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}=\frac{(x,y)(1,4)}{1\cdot |(1,4)|}=\frac{x+4y}{\sqrt{17}} }[/math]

נבודד את x: [math]\displaystyle{ x=-4y+\sqrt{17} /2 }[/math]. ידוע שאורך הוקטור 1 לכן: [math]\displaystyle{ 1=(-4y+\sqrt{17}/2)^2+y^2=17y^2-4\sqrt{17}y+17/4 }[/math]

יש שני פתרונות: [math]\displaystyle{ y=\frac{4\pm \sqrt{3}}{2\sqrt{17}} }[/math]. נמצא את הערכים המתאימים של x:

[math]\displaystyle{ (\frac{1+4\sqrt{3}}{2\sqrt{17}},\frac{4-\sqrt{3}}{2\sqrt{17}}) }[/math]

[math]\displaystyle{ (\frac{1-4\sqrt{3}}{2\sqrt{17}},\frac{4+\sqrt{3}}{2\sqrt{17}}) }[/math]

• הוכח עבור וקטורים במישור כי מתקיים אי השיוויון [math]\displaystyle{ u\cdot v \leq |u||v| }[/math] (ישירות לפי ההגדרה של מכפלה סקלרית ואורך וקטור).

[רמז: השתמש בזהות הידועה [math]\displaystyle{ (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab }[/math]]

ניעזר ברמז: [math]\displaystyle{ 0 \leq (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab }[/math] לכן לכל a,b ממשיים מתקיים: [math]\displaystyle{ 2ab \leq a^2+b^2 }[/math].

נפתח את הביטוי [math]\displaystyle{ |u \cdot v|^2 }[/math]:

[math]\displaystyle{ |u \cdot v|^2 = |(u_1,u_2)(v_1,v_2)|^2=|(u_1v_1+u_2v_2)|^2=u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+2u_1u_2v_1v_2 }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ a=u_1v_2,b=u_2v_1 }[/math] ולפי הרמז נקבל:

[math]\displaystyle{ u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+2u_1u_2v_1v_2 \leq u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+u_1^2v_2^2+u_2^2v_1^2=(u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2)=|u|^2|v|^2 }[/math]

סה"כ קיבלנו: [math]\displaystyle{ |u \cdot v|^2 \leq |u|^2|v|^2 }[/math]. נוציא שורש משני האגפים ונקבל: [math]\displaystyle{ |u \cdot v| \leq |u| \cdot |v| }[/math]

אי שוויון קושי-שוורץ