הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"
מתוך Math-Wiki
מ |
|||
שורה 23: | שורה 23: | ||
:* מתקיים <math>\forall n\in\mathbb Z:\ c_n=\frac{a_n-\sgn(n)\mathrm ib_n}2</math> וכן <math>a_n=c_n+c_{-n}\ \and\ b_n=\mathrm i(c_n-c_{-n})</math>. | :* מתקיים <math>\forall n\in\mathbb Z:\ c_n=\frac{a_n-\sgn(n)\mathrm ib_n}2</math> וכן <math>a_n=c_n+c_{-n}\ \and\ b_n=\mathrm i(c_n-c_{-n})</math>. | ||
* <math>E'</math> הוא מרחב כל הפוקנציות ב־<math>E</math> שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה למעט, אולי, בקצות הקטע. | * <math>E'</math> הוא מרחב כל הפוקנציות ב־<math>E</math> שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה למעט, אולי, בקצות הקטע. | ||
− | + | * '''משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה):''' תהי <math>f\in E'</math> אינטגרבילית בהחלט ובעלת מחזור <math>2\pi</math>. בכל נקודה בה קיימת נגזרת טור פורייה מתכנס ל־<math>f</math>. | |
:* אם <math>x_0</math> נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־<math>\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2</math>. | :* אם <math>x_0</math> נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־<math>\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2</math>. | ||
* '''למת רימן־לבג:''' אם <math>f</math> אינטגרבילית בהחלט אזי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0</math> כאשר <math>n\in\mathbb R</math> (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה). | * '''למת רימן־לבג:''' אם <math>f</math> אינטגרבילית בהחלט אזי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0</math> כאשר <math>n\in\mathbb R</math> (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה). | ||
− | * '''גרעין דיריכלה:''' <math>\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(nx)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac12\right)x\right)}{2\sin\left(\ | + | * '''גרעין דיריכלה:''' <math>\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(nx)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac12\right)x\right)}{2\sin\left(\frac x2\right)}</math>. בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־<math>(-\pi,\pi)</math> שווה ל־<math>\pi</math>. |
* אם <math>f</math> רציפה בכל הקטע <math>[-\pi,\pi]</math> ו־<math>f(-\pi)=f(\pi)</math> אז טור פורייה של <math>f</math> יתכנס אליה בכל הקטע. | * אם <math>f</math> רציפה בכל הקטע <math>[-\pi,\pi]</math> ו־<math>f(-\pi)=f(\pi)</math> אז טור פורייה של <math>f</math> יתכנס אליה בכל הקטע. | ||
:* אם בנוסף <math>f\in E'</math> אזי טור פורייה של <math>f</math> מתכנס אליה במ״ש על הקטע. | :* אם בנוסף <math>f\in E'</math> אזי טור פורייה של <math>f</math> מתכנס אליה במ״ש על הקטע. |
גרסה מ־20:44, 19 באוגוסט 2012
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
- פונקציה.
- הם מקדמי פורייה בטור פורייה של , ו־ מקדמי פורייה בטור פורייה המרוכב.
- היא העצרת הכפולה של , והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם אי־זוגי) מ־1 עד , או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר: ו־.
- אי־שיוויון הולדר: אם כאשר (כלומר, צמודים) אזי .
- אם אזי .
- ההיטל של על הוא .
- אם בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־ ב־ הוא , כלומר .
- אי־שיוויון בסל: .
- תהליך גרם־שמידט: בהנתן בסיס נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי ובסיס אורתונורמלי באופן הבא:
- מרחב הפולינומים ממעלה או פחות מסומן .
- פולינומי לז׳נדר: בהנתן המכפלה הפנימית על מרחב הפולינומים , הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס הם ניתן לחשב אותם גם ע״י או , והם מקיימים .
- פולינומי צבישב: בהנתן המכפלה הפנימית על מרחב הפולינומים , הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס הם ניתן לחשב אותם גם ע״י (נוסחת רודריגז) או , והם מקיימים .
- פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין יוצרות מרחב מכפלה פנימית עם (במקרה הממשי) או (במקרה המרוכב).
- מערכת סגורה: נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור את התנאי .
- המערכת אורתונורמלית סגורה ב־.
- טור פורייה של הוא כאשר ו־.
- אם זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
- מתקיים
- המערכת אורתונורמלית סגורה ב־.
- טור פורייה המרוכב של הוא כאשר .
- מתקיים וכן .
- הוא מרחב כל הפוקנציות ב־ שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה למעט, אולי, בקצות הקטע.
- משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה): תהי אינטגרבילית בהחלט ובעלת מחזור . בכל נקודה בה קיימת נגזרת טור פורייה מתכנס ל־.
- אם נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־.
- למת רימן־לבג: אם אינטגרבילית בהחלט אזי כאשר (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
- גרעין דיריכלה: . בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־ שווה ל־.
- אם רציפה בכל הקטע ו־ אז טור פורייה של יתכנס אליה בכל הקטע.
- אם בנוסף אזי טור פורייה של מתכנס אליה במ״ש על הקטע.