הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/10"
(←שיטות לחישוב אינטגרלים) |
(←אינטגרציה בחלקים) |
||
שורה 55: | שורה 55: | ||
::ביחד <math>\int\frac{ln(x)}{x}dx=\frac{1}{2}ln^2(x)+C</math> | ::ביחד <math>\int\frac{ln(x)}{x}dx=\frac{1}{2}ln^2(x)+C</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים)=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | לעיתים ניתן לפתור את האינטגרל לאחרי שינוי של המשתנה. הנוסחאות להחלפת המשתנים נובעות מכלל הגזירה של פונקציה מורכבת. נלמד על ידי דוגמאות: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\int sin\Big(e^x\Big)e^xdx</math> | ||
+ | |||
+ | נבצע את החלפת המשתנים | ||
+ | |||
+ | ::<math>t=e^x</math> | ||
+ | |||
+ | נגזור את צד שמאל לפי t ואת צד ימין לפי x ונקבל: | ||
+ | |||
+ | ::<math>dt = e^xdx</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן מתקיים | ||
+ | |||
+ | ::<math>\int sin\Big(e^x\Big)e^xdx= \int sin(t)dt = -cos(t) +C = -cos(e^x) + C</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\int sin(\sqrt{x})dx</math> | ||
+ | |||
+ | נבצע את החלפת המשתנים: | ||
+ | |||
+ | ::<math>t=\sqrt{x}</math> | ||
+ | |||
+ | נגזור את שני הצדדים לקבל | ||
+ | |||
+ | ::<math>dt=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן | ||
+ | |||
+ | ::<math>2tdt=dx</math> | ||
+ | |||
+ | (שימו לב שניתן היה להגיע לכך גם מההחלפה השקולה <math>t^2=x</math>) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ביחד | ||
+ | |||
+ | ::<math>\int sin(\sqrt{x})dx=\int 2t\cdot sin(t)dt = -2t\cdot cos(t) +\int 2cos(t) = -2t\cdot cos(t) + 2sin(t) +C=-2\sqrt{x}cos(\sqrt{x})+2sin(\sqrt{x}) +C</math> |
גרסה מ־09:59, 22 באוגוסט 2012
תוכן עניינים
אינטרגלים
נלמד שני סוגי אינטגרלים - האינטגרל המסויים והאינטגרל הלא מסויים.
האינטגרל המסויים מוגדר להיות השטח מתחת לגרף הפונקציה f בקטע כאשר אם הפונקציה מתחת לציר האיקס השטח נספר כשלילי.
האינטגרל הלא מסויים הוא פונקציה קדומה , כלומר פונקציה המקיימת .
במקרים שמעניינים אותנו (נלמד בעתיד את התנאי המדוייקים) מתקיים כאשר F קדומה ל f.
שיטות לחישוב אינטגרלים
אינטגרציה בחלקים
נזכר בנוסחאת לגזירת מכפלה של פונקציות:
כעת, לפי הגדרת פונקציה קדומה, מתקיים כי
ביחד נקבל:
ומכן אנו מסיקים את הנוסחא של אינטגרציה בחלקים:
תרגילים:
- לכן ביחד
- ביחד
אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים)
לעיתים ניתן לפתור את האינטגרל לאחרי שינוי של המשתנה. הנוסחאות להחלפת המשתנים נובעות מכלל הגזירה של פונקציה מורכבת. נלמד על ידי דוגמאות:
נבצע את החלפת המשתנים
נגזור את צד שמאל לפי t ואת צד ימין לפי x ונקבל:
ולכן מתקיים
נבצע את החלפת המשתנים:
נגזור את שני הצדדים לקבל
ולכן
(שימו לב שניתן היה להגיע לכך גם מההחלפה השקולה )
ביחד