מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/11

חזרה למערכי השיעור

פירוק פולינומים

לכל פולינום [math]\displaystyle{ p(x) }[/math], אם [math]\displaystyle{ p(a)=0 }[/math] אזי הפולינום מתחלק ב[math]\displaystyle{ (x-a) }[/math]

פירוק פולינום ריבועי:

[math]\displaystyle{ ax^2+bx+c = a\Big(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Big)\Big(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Big) }[/math]

לפולינומים אחרים נשתמש בנוסחאות כפל מקוצר או ננחש שורש, ואם נצליח נחלק בו.

דוגמא:

[math]\displaystyle{ x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4) }[/math]

חילוק פולינומים

נביט בפולינום [math]\displaystyle{ p(x)=x^3-4x^2+2x+1 }[/math] ונשים לב כי [math]\displaystyle{ p(1)=0 }[/math] ולכן נחלק ב[math]\displaystyle{ x-1 }[/math]

אלגוריתם לחילוק פולינומים

א. חלק את המונום הגבוה של הפולינום המחולק במונום הגבוה של הפולינום המחלק

[math]\displaystyle{ \frac{x^3}{x}=x^2 }[/math]

ב. כפול את התוצאה בפולינום המחלק, וחסר מהפולינום המחולק

[math]\displaystyle{ x^3-4x^2+2x+1 - x^2[x-1]= -3x^2+2x+1 }[/math]

ג. חזור לשלב א' כאשר הפולינום המחולק הוא התוצאה מסעיף ב'. סכום חלוקות המונומים מסעיף א' הוא המנה

[math]\displaystyle{ \frac{-3x^2}{x}=-3x }[/math]

[math]\displaystyle{ -3x^2+2x+1 - (-3x)[x-1]= -x+1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{-x}{x}=-1 }[/math]

[math]\displaystyle{ -x+1 - (-1)[x-1] = 0 }[/math]

ביחד מתקיים: [math]\displaystyle{ x^3-4x^2+2x+1=(x-1)(x^2-3x-1) }[/math]

פירוק לשברים חלקיים

חשב את האינטגרל [math]\displaystyle{ \int\frac{1}{x(x-1)(x-2)}dx }[/math]

על מנת לחשב את האינטגרל נפרק לשברים חלקיים:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{x(x-1)(x-2)}= \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2} }[/math]

נבצע מכנה משותף

[math]\displaystyle{ \frac{1}{x(x-1)(x-2)}=\frac{A(x-1)(x-2) +Bx(x-2) + Cx(x-1)}{x(x-1)(x-2)} }[/math]

נשווה את המונים בין שני השברים כיוון שהמכנים שווים:

[math]\displaystyle{ 1 = (A+B+C)x^2 + (-3A-2B-C)x + 2A }[/math]

ולכן מהשוואת המקדמים של החזקות השונות של x מקבלים את המשוואות הבאות:

[math]\displaystyle{ A+B+C=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ -3A-2B-C=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2A=1 }[/math]

לאחר חישוב הקבועים אנו יכולים לחשב את האינטגרל.

[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{x(x-1)(x-2)}dx=\int\Big(\frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2}\Big)dx= A\cdot ln(x) +B\cdot ln(x-1) + C\cdot ln(x-2) + D }[/math]

הצבה ההופכת אינטגרל כללי לפולינום חלקי פולינום

ראינו במקרה מסויים כיצד לפתור אינטגרל של פולינום חלק פולינום, בהמשך התואר נלמד את שאר המקרים. מסתבר שניתן לפתור אינטגרל כזה אם יודעים לפרק לגורמים את הפולינום במכנה.

לכן אנו מתעניינים בהצבות אשר מעבירות אינטגרל כללי לצורה של פולינום חלק פולינום.

דוגמא:

[math]\displaystyle{ \int\frac{cos(x)dx}{sin(x)+cos(2x)} }[/math]

נבצע את ההצבה [math]\displaystyle{ t=sin(x) }[/math] לקבל

[math]\displaystyle{ \int\frac{dt}{t+1-t^2} }[/math]

(השתמשנו בזהות הטריגונומטרית [math]\displaystyle{ cos(2x)=1-2sin^2(x) }[/math])