הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"
מתוך Math-Wiki
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) |
||
שורה 5: | שורה 5: | ||
ודרגת השורות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות <math>A</math>). | ודרגת השורות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות <math>A</math>). | ||
+ | |||
+ | |||
הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה: | הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה: | ||
שורה 12: | שורה 14: | ||
כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>. | כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>. | ||
− | יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>. | + | יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>. |
נסמן ב <math>D</math> את המטריצה שעמודותיה הם איברי <math>B</math>. | נסמן ב <math>D</math> את המטריצה שעמודותיה הם איברי <math>B</math>. | ||
כלומר | כלומר | ||
+ | |||
+ | <math>D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k} </math> | ||
+ | |||
נשים לב שבגלל ש <math>B</math> בסיס ל <math>C(A)</math> הוא פורש כל עמודה של <math>A</math>. | נשים לב שבגלל ש <math>B</math> בסיס ל <math>C(A)</math> הוא פורש כל עמודה של <math>A</math>. | ||
כלומר לכל עמודה <math>C_i(A)</math> מתקיים ש <math>C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}</math>. | כלומר לכל עמודה <math>C_i(A)</math> מתקיים ש <math>C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}</math>. | ||
+ | |||
+ | נסמן | ||
+ | |||
+ | <math>C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{n,i}b_n</math> | ||
+ | |||
+ | כלומר <math>C_i(</math> |
גרסה מ־12:38, 26 באוגוסט 2012
נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות ).
ודרגת השורות של מטריצה היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות ).
הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:
תהי מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא .
כלומר .
יהיה בסיס עבור .
נסמן ב את המטריצה שעמודותיה הם איברי .
כלומר
נשים לב שבגלל ש בסיס ל הוא פורש כל עמודה של .
כלומר לכל עמודה מתקיים ש .
נסמן
כלומר