הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) |
||
שורה 9: | שורה 9: | ||
הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה: | הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה: | ||
+ | |||
תהי <math>A \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא <math>k</math>. | תהי <math>A \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא <math>k</math>. | ||
כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>. | כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>. | ||
+ | |||
+ | ההוכחה מחולקת לכמה שלבים. | ||
+ | |||
+ | שלב א': למצוא מטריצות <math>D,R</math> כך שמספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>. ומתקיים <math>A=DR</math>. | ||
+ | |||
יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>. | יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>. | ||
שורה 31: | שורה 37: | ||
כלומר <math>C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k</math> | כלומר <math>C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k</math> | ||
− | כלומר <math> | + | כלומר <math> C_i(A)=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} </math> |
+ | |||
+ | נגדיר מטריצה <math>R \in \mathbb{F}^{k \times n}</math> לפי | ||
+ | <math>R_{i,j}=\alpha_{i,j}</math>. | ||
+ | |||
+ | נשים לב ש הכפל <math>DR</math> מוגדר היות ומספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>. | ||
+ | |||
+ | נקבל ש<math>C_i(DR)=DC_i(R)=D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}=C_i(A)</math> | ||
+ | |||
+ | כלומר <math>DR=A</math>. | ||
+ | |||
+ | סוף שלב א'. | ||
+ | |||
+ | שלב ב': לראות ש <math>A=DR</math> אומר שדרגת השורות של <math>A</math> קטנה מדרגת השורות של <math>R</math> ולהסיק מסקנות. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | לפי כפל שורה שורה | ||
+ | <math>R_i(A)=R_i(D)R=D_{i,1}R_1(R)+D_{i,2}R_2(R)+\ldots + D_{i,k}R_k(R)</math> | ||
+ | |||
+ | כלומר | ||
+ | |||
+ | <math>R_i(A) \in span\{R_1(R),R_2(R), \ldots , R_k(R)\}</math> | ||
+ | |||
+ | לכן <math>R(A) \subseteq R(R)</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן <math>dimR(A) \leq dimR(R) \leq k = dimC(A)</math> | ||
+ | |||
+ | (מרחב השורות של המטריצה <math>R</math> לא יכול להיות יותר מ <math>k</math> כי יש ב <math>R</math> רק <math>k</math> שורות.) | ||
+ | |||
+ | זה מוכיח שלכל מטריצה <math>A</math> מתקיים ש <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math>. | ||
+ | |||
+ | סוף שלב ב' | ||
+ | |||
+ | שלב ג': סיום. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נשים לב ש <math>dimC(A) = dim R(A^t) \leq dimC(A^t) = dimR(A)</math> | ||
+ | |||
+ | בסה"כ קיבלנו <math>dimC(A) \leq dimR(A)</math> וגם <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math> ולכן | ||
− | + | <math>dimR(A)=dimC(A)</math> מש"ל. |
גרסה מ־13:38, 26 באוגוסט 2012
נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות ).
ודרגת השורות של מטריצה היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות ).
הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:
תהי מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא .
כלומר .
ההוכחה מחולקת לכמה שלבים.
שלב א': למצוא מטריצות כך שמספר העמודות ב ומספר השורות ב הם . ומתקיים .
יהיה בסיס עבור .
נסמן ב את המטריצה שעמודותיה הם איברי .
כלומר
נשים לב שבגלל ש בסיס ל הוא פורש כל עמודה של .
כלומר לכל עמודה מתקיים ש .
נסמן
כלומר
כלומר
נגדיר מטריצה לפי .
נשים לב ש הכפל מוגדר היות ומספר העמודות ב ומספר השורות ב הם .
נקבל ש
כלומר .
סוף שלב א'.
שלב ב': לראות ש אומר שדרגת השורות של קטנה מדרגת השורות של ולהסיק מסקנות.
לפי כפל שורה שורה
כלומר
לכן
ולכן
(מרחב השורות של המטריצה לא יכול להיות יותר מ כי יש ב רק שורות.)
זה מוכיח שלכל מטריצה מתקיים ש .
סוף שלב ב'
שלב ג': סיום.
נשים לב ש
בסה"כ קיבלנו וגם ולכן
מש"ל.