שינויים
/* שאלה 2: */
פתרון הבוחן:
==שאלה 1:==
נתון כי <math>A = \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>.
==שאלה 2:==
נתונה מערכת המיוצגת על ידי המטריצה
<math>\begin{bmatrix} 1 & a_1 & a_2 & 0 & a_3 & | & 0 \\ a_4 & 0 & a_5 & 2 & a_6 & | & 0 \\ a_7 & 0 & a_8 & 0 & a_9 & | & 0
\end{bmatrix}</math>
סעיף א) אם המטריצה מדורגת זה אומר ש <math>a_4 = a_7 = 0</math> כי שתיהם שניהם נמצאים מתחת לאיבר מוביל של השורה הראשונה.
בנוסף אפשר לראות ש <math>a_8=0</math>. הוכחה: נניח בשלילה ש <math>a_8 \neq 0</math>.
<math>(-a_1s,s,-2t,t,0)</math>.
==שאלה 3:==
א) <math>V = \mathbb{R}_3[x]</math> ו <math>U = \{p\in \mathbb{R}_3[x] \mid p(0)=p(1)\}</math>
מציאת בסיס ומימד:
איבר כללי של <math>V</math> הוא מהצורה <math>a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3</math>
הדרישה <math>p(0)=p(1)</math> אומרת ש
<math>a_0+a_1+a_2+a_3=a_0</math>
כלומר
<math>a_1+a_2+a_3=0</math>
זאת מערכת של <math>4</math> נעלמים עם משוואה אחת. נמצא את מרחב הפתרונות.
לפי פתרון המטריצה
<math>\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \end{bmatrix}</math>
נקבל ש
<math>a_3 = t</math>
<math>a_2=s</math>
<math>a_1 = -s-t</math>
<math>a_0 = r</math>
לכן איבר כללי בפתרון הוא
<math>(r,-t-s,s,t) = r(1,0,0,0) + s(0,-1,1,0) + t(0,-1,0,1)</math>
לכן בסיס יהיה הפולינומים שמיוצגים על ידי
<math>(1,0,0,0) , (0,-1,1,0) ,(0,-1,0,1)</math>
כלומר
<math>\{1, -x+x^2 , -x+x^3\}</math>
והמימד הוא <math>3</math>.
ב) 1) הפרכה. לוקחים ב <math>\mathbb{R}^2</math> את
<math>A = \{(1,0)\}</math>
<math>B = \{(2,0)\}</math>
ואז
<math>span(A\cap B) = span(\emptyset) = \{0\}</math>
אבל <math>span(A)=span(B)</math>
ולכן <math>span(A) \cap span(B) = span(A) = span(\{(1,0)\}) \neq \{0\}</math>
2) הוכחה:
נראה הכלה דו כיוונית
היות ולכל קבוצה <math>B</math>
מתקיים ש <math>B \subseteq span(B)</math>
זה נכון גם כש <math>B=span(A)</math>
ולכן
<math>span(A) \subseteq span(span(A))</math>.
מצד שני אנחנו יודעים שאם <math>V</math> הוא מרחב וקטורי שמכיל את <math>A</math> אז <math>span(A) \subseteq V</math>.
היות ו <math>span(A)</math> הוא מרחב וקטורי שמכיל את <math>span(A)</math> אז מתקיים <math>span(span(A))\subseteq span(A)</math>.
לכם בסך הכל
<math>span(span(A))=span(A)</math>.
