אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון הבוחן

פתרון הבוחן:

שאלה 1:

נתון כי [math]\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} }[/math]. ו [math]\displaystyle{ B = \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix} }[/math].

צריך למצוא מטריצות אלמנטריות [math]\displaystyle{ E_1 , E_2 ,\ldots , E_k }[/math]. כך ש [math]\displaystyle{ E_1 \cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A =B }[/math].

מדרגים את מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] למטריצה [math]\displaystyle{ B }[/math].

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_2 = R_2 - cR_3} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_1 = R_1 - bR_3} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & a &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_1 = R_1 - aR_2} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_3 = 3R_3} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \overset{R_3 = R_3 + eR_1} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & 0 & 3 \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overset{R_3 = R_3 + fR_2} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix} \overset{R_2 = 2R_2} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix} \overset{R_2 = R_2 + dR_1} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix} }[/math]

לכן מטריצות אלמנטריות מתאימות הן [math]\displaystyle{ E_8=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} E_7=\begin{bmatrix} 1 & 0 &-b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} E_6=\begin{bmatrix} 1 & -a &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} E_5=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} E_4=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & 0 & 1 \end{bmatrix} E_3=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & f & 1 \end{bmatrix} E_2=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} E_1=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} }[/math]

ומתקיים [math]\displaystyle{ E_1 \cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_8 A=B }[/math].

(זאת לא התשובה היחידה הנכונה, אבל זאת אחת הפשוטות)

שאלה 2:

נתונה מערכת המיוצגת על ידי המטריצה [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & a_1 & a_2 & 0 & a_3 & | & 0 \\ a_4 & 0 & a_5 & 2 & a_6 & | & 0 \\ a_7 & 0 & a_8 & 0 & a_9 & | & 0 \end{bmatrix} }[/math]

סעיף א) אם המטריצה מדורגת זה אומר ש [math]\displaystyle{ a_4 = a_7 = 0 }[/math] כי שניהם נמצאים מתחת לאיבר מוביל של השורה הראשונה.

בנוסף אפשר לראות ש [math]\displaystyle{ a_8=0 }[/math]. הוכחה: נניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ a_8 \neq 0 }[/math].

אם [math]\displaystyle{ a_5 \neq 0 }[/math] הוא נמצא מתחת לאיבר מוביל של השורה השניה.

אם [math]\displaystyle{ a_5 = 0 }[/math] הוא יהיה איבר מוביל משמאל לאיבר המוביל של השורה השניה.

לכן [math]\displaystyle{ a_8=0 }[/math].

לגבי שאר הפרמטרים, כל בחירה שהיא שלהם תשאיר את המטריצה מדורגת ולכן לא ניתן לדעת מהם.

סעיף ב) אם [math]\displaystyle{ A }[/math] מדורגת קנונית אז [math]\displaystyle{ 2 }[/math] לא יכול להיות איבר מוביל של השורה השניה.

לכן, [math]\displaystyle{ a_5 \neq 0 }[/math] כלומר הוא איבר מוביל ולכן [math]\displaystyle{ a_5 = 1 }[/math].

בנוסף [math]\displaystyle{ a_2 = 0 }[/math] כי הוא מעל האיבר המוביל של השורה השניה.

את הפרמטר [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] אי אפשר לקבוע. גם את הפרמטרים [math]\displaystyle{ a_3,a_6,a_9 }[/math] לא ניתן עדיין לקבוע בוודאות. כי יכול להיות ש [math]\displaystyle{ a_9=0 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ a_3,a_6 }[/math] יכולים להיות כל מספר שהוא.

ויכול להיות ש [math]\displaystyle{ a_9=1 }[/math] (ואז [math]\displaystyle{ a_3=a_6=0 }[/math]).

סעיף ג) אם נתון שיש שני משתנים חופשיים, אז יש שלושה איברים מובילים ולכן

[math]\displaystyle{ a_9=1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ a_3=a_6=0 }[/math] כי הם מעל איבר מוביל של השורה השלישית.

את [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] עדיין לא ניתן לקבוע.

לכן קיבלנו

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & a_1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} }[/math]

סעיף ד) פתרון פשוט של המערכת מוביל ל

[math]\displaystyle{ x_5 = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ \quad }[/math] [math]\displaystyle{ x_4 = t }[/math] [math]\displaystyle{ \quad }[/math] [math]\displaystyle{ x_3=-2t }[/math] [math]\displaystyle{ \quad }[/math] [math]\displaystyle{ x_2 = s }[/math] [math]\displaystyle{ \quad }[/math] [math]\displaystyle{ x_1 = -a_1s }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ (-a_1s,s,-2t,t,0) }[/math].

שאלה 3:

א) [math]\displaystyle{ V = \mathbb{R}_3[x] }[/math] ו [math]\displaystyle{ U = \{p\in \mathbb{R}_3[x] \mid p(0)=p(1)\} }[/math]

נוכיח ש [math]\displaystyle{ U }[/math] תת מרחב לפי הקריטריון המקוצר.

ראשית [math]\displaystyle{ U \neq \emptyset }[/math] כי פולינום האפס נמצא בו.

שנית, אם [math]\displaystyle{ p_1,p_2 \in U }[/math] אז

[math]\displaystyle{ (p_1+p_2)(0) = p_1(0)+p_2(0)=p_1(1)+p_2(1)=(p_1+p_2)(1) }[/math]

ואם [math]\displaystyle{ p\in U }[/math] ו [math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R} }[/math] אז

[math]\displaystyle{ (\alpha p)(0) = \alpha p(0) = \alpha p(1) = (\alpha p)(1) }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ U }[/math] תת מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math].

מציאת בסיס ומימד:

איבר כללי של [math]\displaystyle{ V }[/math] הוא מהצורה [math]\displaystyle{ a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 }[/math]

הדרישה [math]\displaystyle{ p(0)=p(1) }[/math] אומרת ש

[math]\displaystyle{ a_0+a_1+a_2+a_3=a_0 }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ a_1+a_2+a_3=0 }[/math]

זאת מערכת של [math]\displaystyle{ 4 }[/math] נעלמים עם משוואה אחת. נמצא את מרחב הפתרונות.

לפי פתרון המטריצה

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} }[/math]

נקבל ש

[math]\displaystyle{ a_3 = t }[/math]

[math]\displaystyle{ a_2=s }[/math]

[math]\displaystyle{ a_1 = -s-t }[/math]

[math]\displaystyle{ a_0 = r }[/math]

לכן איבר כללי בפתרון הוא

[math]\displaystyle{ (r,-t-s,s,t) = r(1,0,0,0) + s(0,-1,1,0) + t(0,-1,0,1) }[/math]

לכן בסיס יהיה הפולינומים שמיוצגים על ידי

[math]\displaystyle{ (1,0,0,0) , (0,-1,1,0) ,(0,-1,0,1) }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ \{1, -x+x^2 , -x+x^3\} }[/math]

והמימד הוא [math]\displaystyle{ 3 }[/math].

ב) 1) הפרכה. לוקחים ב [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] את

[math]\displaystyle{ A = \{(1,0)\} }[/math]

[math]\displaystyle{ B = \{(2,0)\} }[/math]

ואז

[math]\displaystyle{ span(A\cap B) = span(\emptyset) = \{0\} }[/math]

אבל [math]\displaystyle{ span(A)=span(B) }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ span(A) \cap span(B) = span(A) = span(\{(1,0)\}) \neq \{0\} }[/math]

2) הוכחה:

נראה הכלה דו כיוונית

היות ולכל קבוצה [math]\displaystyle{ B }[/math]

מתקיים ש [math]\displaystyle{ B \subseteq span(B) }[/math]

זה נכון גם כש [math]\displaystyle{ B=span(A) }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ span(A) \subseteq span(span(A)) }[/math].

מצד שני אנחנו יודעים שאם [math]\displaystyle{ V }[/math] הוא מרחב וקטורי שמכיל את [math]\displaystyle{ A }[/math] אז [math]\displaystyle{ span(A) \subseteq V }[/math].

היות ו [math]\displaystyle{ span(A) }[/math] הוא מרחב וקטורי שמכיל את [math]\displaystyle{ span(A) }[/math] אז מתקיים [math]\displaystyle{ span(span(A))\subseteq span(A) }[/math].

לכם בסך הכל

[math]\displaystyle{ span(span(A))=span(A) }[/math].