הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/14"
מתוך Math-Wiki
(←הוכחה בשלילה) |
(←הוכחה בשלילה) |
||
שורה 40: | שורה 40: | ||
'''דוגמא'''. תהיינה A,B קבוצות כך ש <math>(A\backslash B)\cup B = (A\cup B)\backslash B</math> הוכח כי <math>A\cap B = \phi</math> | '''דוגמא'''. תהיינה A,B קבוצות כך ש <math>(A\backslash B)\cup B = (A\cup B)\backslash B</math> הוכח כי <math>A\cap B = \phi</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===הכלה דו כיוונית=== | ||
+ | |||
+ | בשיטה זו אנו מוכיחים שיוויון בין קבוצות. על מנת להוכיח כי <math>A=B</math> מספיק להוכיח כי <math>A\subseteq B</math> וגם <math>B\subseteq A</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''דוגמא'''. תהיינה קבוצות A,B המקיימות <math>A\cup B = A \cap B</math>. הוכח כי <math>A=B</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''הוכחה באמצעות הכלה דו כיוונית''': | ||
+ | |||
+ | |||
+ | מהנתון ניתן להסיק כי <math>A\cup B \subseteq A \cap B</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | לכן בפרט <math>A\cup B \subseteq A </math> וגם <math>A\cup B \subseteq B</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | לכן <math>A\subseteq B</math> וגם <math>B\subseteq A</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | וביחד לפי הכלה דו-כיוונית <math>A=B</math> |
גרסה מ־08:26, 30 באוגוסט 2012
שיטות הוכחה
הוכחה בשלילה
הוכחה בשלילה מבוססת על הטאוטולוגיה . בהוכחה בשלילה אנו מניחים את השלילה של מה שצריך להוכיח ומגיעים לסתירה.
שימו לב שאנו לא שוללים את הנתון אלא את הצ"ל.
דוגמא:
תרגיל תהיינה A,B קבוצות המקיימות . הוכח כי
הוכחה בשלילה:
- נתון:
- צ"ל:
נניח בשלילה כי .
לכן קיים כך ש (או ההפך)
לכן לפי ההגדרה אבל (או ההפך)
לכן
בסתירה.
דוגמא. תהיינה A,B קבוצות כך ש הוכח כי
הכלה דו כיוונית
בשיטה זו אנו מוכיחים שיוויון בין קבוצות. על מנת להוכיח כי מספיק להוכיח כי וגם
דוגמא. תהיינה קבוצות A,B המקיימות . הוכח כי
הוכחה באמצעות הכלה דו כיוונית:
מהנתון ניתן להסיק כי
לכן בפרט וגם
לכן וגם
וביחד לפי הכלה דו-כיוונית