מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/8

1

קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף"

• יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף

• יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף

• לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף

• יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף

• יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף

• יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף

מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה.

2

הגדרה:

קבוצת וקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] נקראת תלוייה לינארית אם קיימים סקלרים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{R} }[/math] כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_nv_n=0 }[/math]

אילו מן ההגדרות הבאות מתאימה לקבוצת וקטורים שאינה תלוייה לינארית:

• וקטורים המקיימים [math]\displaystyle{ v_1+v_2+...+v_n \neq 0 }[/math]

• וקטורים המקיימים [math]\displaystyle{ 0\cdot v_1+0\cdot v_2+...+0\cdot v_n \neq 0 }[/math]

• וקטורים המקיימים את התנאי- אם [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_nv_n=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a_1=a_2=...=a_n=0 }[/math]

• וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_nv_n=0 }[/math]

3

תהיינה A,B,C קבוצות. נניח נתון [math]\displaystyle{ C \subseteq A\cup B }[/math].

הוכח/הפרך כל אחת מן הטענות הבאות:

• [math]\displaystyle{ C\subseteq A }[/math] או [math]\displaystyle{ C \subseteq B }[/math]

• אם [math]\displaystyle{ C\cap A = \phi }[/math] אזי [math]\displaystyle{ C \subseteq B }[/math]

• [math]\displaystyle{ C\cap A = \phi }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ C \subseteq B }[/math]

• [math]\displaystyle{ C\backslash A \subseteq B }[/math]

• אם [math]\displaystyle{ C=A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A\subseteq B }[/math]

• [math]\displaystyle{ \Big((A\cup B)\backslash C\Big)\cup C = A \cup B }[/math]

• [math]\displaystyle{ \Big((A\backslash C)\cup (B\backslash C)\Big)\cup C = A \cup B }[/math]