מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/מבחן דמה

פתרו כמה שיותר מן השאלות הבאות. פתרון נכון של שאלה מקנה 17 נקודות.

1

נגדיר שתי פונקציות

[math]\displaystyle{ g(x)=\begin{cases}x & x\gt 1 \\ 0 & x=1 \\ |x+1| & x\lt 1\end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2 & x\gt 2 \\ 0 & x=2 \\ g(x) & x\lt 2\end{cases} }[/math]

מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

[math]\displaystyle{ f\Big( g(x)\Big) + x \gt |x-1| }[/math]

2

א

מצא את כל הפתרונות למשוואה

[math]\displaystyle{ z^4=2-2i }[/math]

ב

הוכח כי [math]\displaystyle{ \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2} }[/math]

3

מצא את נקודת החיתוך של הישר המאונך למישור שמשוואתו [math]\displaystyle{ x-y+2z=3 }[/math] ועובר בנקודה [math]\displaystyle{ (1,1,1) }[/math].

רמז: חיתוך של שני מישורים לא מקבילים הוא ישר, ולכן ישר במרחב מתואר על ידי חיתוך של שני מישורים.

4

הוכח כי לכל n מתקיים:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\lt \frac{n-1}{n} }[/math]

5

א

פתרו את האינטגרל הבא

[math]\displaystyle{ \int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}\mathrm dx }[/math]

רמז: הציבו [math]\displaystyle{ t=(1+x)^{1/6} }[/math]

ב

פתרו את האינטגרל הבא

[math]\displaystyle{ \int ln(x)dx }[/math]

6

הגדרה: פונקציה f נקראת חד-חד-ערכית אם מתקיים עבורה התנאי הבא:

[math]\displaystyle{ \forall x_1\in \mathbb{R}\forall x_2\in\mathbb{R}:\Big(f(x_1)=f(x_2)\Big)\rightarrow (x_1=x_2) }[/math]

א

נסח תנאי שקול לכך ש f פונקציה שאינה חד-חד-ערכית.

ב

קבע עבור כל אחת מן הפונקציות הבאות אם היא חד-חד-ערכית. הוכח את קביעתך:

• [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math]

• [math]\displaystyle{ g(x)=x+1 }[/math]

• [math]\displaystyle{ h(x)=sin(x) }[/math]

7

א

הוכח כי לכל שלוש קבוצות A,B,C מתקיים

[math]\displaystyle{ A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C) }[/math]

ב

הוכח כי לכל ארבע קבוצות A,B,C,D מתקיים

[math]\displaystyle{ (A\backslash B)\cap (C\backslash D)\subseteq (A\cap C)\backslash (B\cap D) }[/math]