הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - תרגול
(←פתרון) |
(←פתרון) |
||
שורה 12: | שורה 12: | ||
<li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}\mathrm dx</math> | <li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}\mathrm dx</math> | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | נגדיר <math>y=(1+x)^{1/6}\implies | + | נגדיר <math>y=(1+x)^{1/6}\implies 6y^5\mathrm dy=\mathrm dx</math>. נקבל <math>\int=\int\frac{\left(y^6-1\right)^2+y^3}{y^2}6y^5\mathrm dy=\int\left(\left(y^6-1\right)^2+y^3\right)6y^3\mathrm dy=\dots</math>. {{משל}}</li> |
</ol> | </ol> | ||
+ | |||
==הצבות טריגונומטריות== | ==הצבות טריגונומטריות== | ||
כאשר יש פונקציה מהצורה <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math>. | כאשר יש פונקציה מהצורה <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math>. |
גרסה מ־11:18, 5 בספטמבר 2012
תוכן עניינים
אינטגרציה (המשך)
עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), פונקציות טריגונומטריות וכו'.
עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות.
דוגמה 1
חשבו
פתרון
נרשום את האינטגרל כ-. מתבקשת ההצבה
ולכן נקבל
ומכאן קל למצוא את הפתרון.
פתרון
נגדיר. נקבל
.
הצבות טריגונומטריות
כאשר יש פונקציה מהצורה .
דוגמה 2
פתרון
נעזר במשלש ישר זווית: גרף (1)חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא
. נקבל
נציבאזי
.
פתרון
שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבהאזי
נותר לפתורעבור
. מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים.
פתרון
ראשית נציב. נציב
נקבל:
את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה
ואז
.
הצבות מיוחדות
ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב ולכן
וגם
.
דוגמה 3
פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית:
פתרון
פתרון
נציב
מסקנה: כאשר יש ביטוי מהצורהלפיכך
.
ננסה להציב
.
אם יש ביטוי מהצורה כאשר הפולינום אי פריק נציב
. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו
נציב
או
.
דוגמה 4
נחשב
פתרון
הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו![\begin{align}&(y-x)^2=x^2+x+2\\\implies&y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\\\implies&\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy\end{align}](/images/math/0/b/a/0ba814d4a2b8435dcb3ef1fcf9799e69.png)
![\int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2}](/images/math/5/e/e/5eedd72e053f6d15536beba0317db79c.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)