הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"
מתוך Math-Wiki
מ (←התמרות פורייה שימושיות) |
|||
שורה 46: | שורה 46: | ||
== התמרות פורייה == | == התמרות פורייה == | ||
* <math>G(\mathbb R)</math> הוא המרחב הלינארי של כל הפונקציות המוגדרות מ־<math>\mathbb R</math> ל־<math>\mathbb C</math> שהן רציפות למקוטעין ואינטגרביליות בהחלט ב־<math>\mathbb R</math>. | * <math>G(\mathbb R)</math> הוא המרחב הלינארי של כל הפונקציות המוגדרות מ־<math>\mathbb R</math> ל־<math>\mathbb C</math> שהן רציפות למקוטעין ואינטגרביליות בהחלט ב־<math>\mathbb R</math>. | ||
− | * '''התמרת פורייה:''' <math>\hat f=\mathcal F | + | * '''התמרת פורייה:''' <math>\hat f=\mathcal F[f]:\mathbb R\to\mathbb C</math> נקראת "התמרת פורייה של <math>f</math>" ומוגדרת ע״י <math>\hat f(\omega):=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx</math>. |
* אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> אזי <math>\hat f</math> מוגדרת ורציפה בכל נקודה <math>\omega\in\mathbb R</math>. בנוסף, <math>\lim_{\omega\to\pm\infty}\hat f(\omega)=0</math>. | * אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> אזי <math>\hat f</math> מוגדרת ורציפה בכל נקודה <math>\omega\in\mathbb R</math>. בנוסף, <math>\lim_{\omega\to\pm\infty}\hat f(\omega)=0</math>. | ||
* לכל <math>f,g\in G(\mathbb R)</math> ולכל <math>a,b\in\mathbb C</math> מתקיים: | * לכל <math>f,g\in G(\mathbb R)</math> ולכל <math>a,b\in\mathbb C</math> מתקיים: | ||
− | :* <math>\mathcal F | + | :* <math>\mathcal F[af+bg]=a\mathcal F[f]+b\mathcal F[g]</math> |
:* אם <math>f</math> ממשית אזי <math>\hat f(-\omega)=\overline{\hat f(\omega)}</math>. | :* אם <math>f</math> ממשית אזי <math>\hat f(-\omega)=\overline{\hat f(\omega)}</math>. | ||
::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f</math> ממשית וזוגית אזי <math>\hat f(\omega)=\hat f(-\omega)</math> והיא פונקציה ממשית. | ::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f</math> ממשית וזוגית אזי <math>\hat f(\omega)=\hat f(-\omega)</math> והיא פונקציה ממשית. | ||
::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f</math> ממשית ואי־זוגית אזי <math>\hat f(-\omega)=-\hat f(\omega)</math> והיא פונקציה מדומה. | ::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f</math> ממשית ואי־זוגית אזי <math>\hat f(-\omega)=-\hat f(\omega)</math> והיא פונקציה מדומה. | ||
:* אם <math>f</math> מדומה אזי <math>\hat f(-\omega)=-\overline{\hat f(\omega)}</math>. | :* אם <math>f</math> מדומה אזי <math>\hat f(-\omega)=-\overline{\hat f(\omega)}</math>. | ||
− | :* אם <math>a\ne0</math> אזי <math>\mathcal F | + | :* אם <math>a\ne0</math> אזי <math>\mathcal F[f(ax+b)](\omega)=\frac1{|a|}\exp\!\left(\frac{\mathrm ib\omega}2\right)\mathcal F[f]\left(\frac\omega a\right)</math>. |
− | :* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F\!\left | + | :* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F\!\left[\mathrm e^{\mathrm iax}f(x)\right]\!(\omega)=\mathcal F[f](\omega-a)</math>. |
− | :* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F | + | :* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F[\cos(ax)f(x)](\omega)=\frac{\mathcal F[f](\omega-a)-\mathcal F[f](\omega+a)}2</math>. |
− | :* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F | + | :* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F[\sin(ax)f(x)](\omega)=\frac{\mathcal F[f](\omega-a)-\mathcal F[f](\omega+a)}{2\mathrm i}</math>. |
− | :* אם <math>f,f',\dots,f^{(n)}\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\lim_{x\to\pm\infty}=0</math> אזי <math>\mathcal F\!\left | + | :* אם <math>f,f',\dots,f^{(n)}\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0</math> אזי <math>\mathcal F\!\left[f^{(n)}\right]\!(\omega)=(\mathrm i\omega)^n\mathcal F[f](\omega)</math>. |
− | + | :* אם <math>\int\limits_{-\infty}^\infty x|f(x)|\mathrm dx</math> מתכנס אזי <math>\hat f</math> גזירה ברציפות ומתקיים <math>\mathcal F\!\left[x^n f(x)\right]\!(\omega)=\mathrm i^n\frac{\mathrm d^n}{\mathrm d\omega^n}\mathcal F[f](\omega)</math>. | |
− | :* אם <math>\int\limits_{-\infty}^\infty x|f(x)|\mathrm dx</math> מתכנס אזי <math>\hat f</math> גזירה ברציפות ומתקיים <math>\mathcal F\!\left | + | |
* '''התמרת פורייה ההפוכה:''' אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> אזי בכל נקודה <math>x_0</math> שבה קיימות הנגזרות החד־צדדיות מתקיים <math>\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega</math>. | * '''התמרת פורייה ההפוכה:''' אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> אזי בכל נקודה <math>x_0</math> שבה קיימות הנגזרות החד־צדדיות מתקיים <math>\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega</math>. | ||
:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f'\in E(\mathbb R)</math> אזי <math>f(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega</math>. | :* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f'\in E(\mathbb R)</math> אזי <math>f(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega</math>. | ||
שורה 71: | שורה 70: | ||
* <math>f*(g+h)=f*g+f*h</math> | * <math>f*(g+h)=f*g+f*h</math> | ||
* אם <math>f,g</math> אינטגרביליות בהחלט אז <math>f*g</math> מוגדרת עבורן בכל <math>\mathbb R</math> וגם היא אינטגרבילית בהחלט. | * אם <math>f,g</math> אינטגרביליות בהחלט אז <math>f*g</math> מוגדרת עבורן בכל <math>\mathbb R</math> וגם היא אינטגרבילית בהחלט. | ||
− | * '''משפט הקונבולוציה:''' <math>\forall f,g\in G(\mathbb R):\ \mathcal F | + | * '''משפט הקונבולוציה:''' <math>\forall f,g\in G(\mathbb R):\ \mathcal F[f*g]=2\pi\mathcal F[f]\mathcal F[g]</math>. |
:* {{הערה|שימוש חשוב:}} נניח שידועות <math>f,g,\hat f,\hat g</math> ונרצה למצוא <math>h</math> כך ש־<math>\hat h=\hat f\cdot\hat g</math>. אזי <math>h=\frac1{2\pi}f*g</math>. | :* {{הערה|שימוש חשוב:}} נניח שידועות <math>f,g,\hat f,\hat g</math> ונרצה למצוא <math>h</math> כך ש־<math>\hat h=\hat f\cdot\hat g</math>. אזי <math>h=\frac1{2\pi}f*g</math>. | ||
− | |||
=== התמרות פורייה שימושיות === | === התמרות פורייה שימושיות === | ||
− | * <math>\mathcal F\left | + | * <math>\mathcal F\!\left[\mathrm e^{-|x|}\right]\!(\omega)=\frac1{\pi(1+\omega^2)}</math> |
− | * <math>\mathcal F\left | + | * <math>\mathcal F\!\left[\mathrm e^{-x^2}\right]\!(\omega)=\frac{\mathrm e^{-\omega^2/4}}{2\sqrt\pi}</math> (הוכחה ע״י חישוב הנגזרת של האינטגרל שמגדיר את ההתמרה ופתרון המד״ר המתקבלת: <math>\hat f'(\omega)=-\frac\omega2\hat f(\omega)</math>). |
− | * עבור <math>a\ge0</math>: <math>\mathcal F | + | * עבור <math>a\ge0</math>: <math>\mathcal F[1_{[-a,a]}](\omega)=\frac{\sin(a\omega)}{\pi\omega}</math> (כאשר <math>1_A</math> היא הפונקציה המציינת של קבוצה <math>A</math>, ומוגדרת ע״י <math>1_A(x)=\begin{cases}1,&x\in A\\0,&\text{else}\end{cases}</math>). |
+ | |||
+ | == התמרות לפלס == | ||
+ | * '''חסימות מעריכית:''' נאמר ש־<math>f</math> חסומה מעריכית אם קיימים <math>M>0</math> (''חסם מעריכי'') ו־<math>\alpha</math> (''סדר מעריכי'') שעבורם <math>\forall t:\ |f(t)|\le M\mathrm e^{\alpha t}</math>. | ||
+ | * <math>\Lambda(\mathbb R)</math> הוא המרחב הלינארי של פונקציות <math>f:\mathbb R\to\mathbb C</math> חסומות מעריכית כך ש־<math>f\in E[0,\infty)</math> והן אינטגרביליות בהחלט ב־<math>[0,R]</math> לכל <math>0<R<\infty</math>. | ||
+ | * '''התמרת לפלס:''' תהי <math>f\in E[0,\infty)</math> המקבלת ערכים ב־<math>\mathbb C</math>. אזי <math>\mathcal L[f]:\mathbb R\to\mathbb C</math> נקראת "התמרת לפלס של <math>f</math>" ומוגדרת ע״י <math>\mathcal L[f](s)=\int\limits_0^\infty f(t)\mathrm e^{-st}\mathrm dt</math>. | ||
+ | * אם <math>f\in E[0,\infty)</math> וחסומה מעריכית אזי <math>\lim_{s\to\infty}\mathcal L[f](s)=0</math>. | ||
+ | * אם <math>f\in\Lambda(\mathbb R)</math> עם סדר מעריכי <math>\alpha</math> אז קיימת לה התמרת לפלס ב־<math>(\alpha,\infty)</math>. | ||
+ | * <math>\forall a,b\in\mathbb C:\ \mathcal L[af+bg]=a\mathcal L[f]+b\mathcal L[g]</math> | ||
+ | * <math>\mathcal L\!\left[t^n f(t)\right]\!(s)=(-1)^n\frac{\mathrm d^n}{\mathrm ds^n}\mathcal L[f](s)</math> | ||
+ | * '''משפט התמורה של הנגזרת:''' תהי <math>f</math> עם חסם מעריכי <math>\alpha</math> וכך ש־<math>f^{(n)}\in\Lambda(\mathbb R)</math>. אזי התמרת לפלס של <math>f^{(n)}</math> מוגדרת ב־<math>(\alpha,\infty)</math> ומתקיים <math>\mathcal L\!\left[f^{(n)}\right]\!(s)=s^n\mathcal L[f](s)-\sum_{k=0}^{n-1} s^{n-k}f^{(k)}(0)</math>. | ||
+ | * '''קונבולוציה:''' יהיו <math>f,g\in\Lambda(\mathbb R)</math>. אזי <math>\forall t\in[0,\infty):\ (f*g)(t)=\int\limits_0^t f(t-x)g(x)\mathrm dx</math>. | ||
+ | * '''משפט הקונבולוציה:''' <math>\forall f,g\in\Lambda(\mathbb R):\ \mathcal L[f*g]=\mathcal L[f]\mathcal L[g]</math>. אם בנוסף <math>f,g</math> עם סדר מעריכי אז <math>\mathcal L[f*g](s)</math> מוגדר לכל <math>s>\alpha</math>. | ||
+ | * תהא <math>f\in\Lambda(\mathbb R)</math> ונתונה <math>F(t)=\int\limits_0^t f(x)\mathrm dx</math>. ממשפט הקונבולוציה עם <math>g(t)\equiv1</math> נקבל <math>\mathcal L[F](s)=\frac{\mathcal L[f](s)}s</math>. | ||
+ | * '''פונקציית הביסייד (Heaviside)''' היא <math>H_c(t)=\begin{cases}0,&0\le t\le c\\1,&t\ge c\end{cases}</math>. | ||
+ | * <math>\mathcal L[H_c](s)=\frac{\mathrm e^{-cs}}s,\quad s>0</math> | ||
+ | * <math>\mathcal L[H_c(t)f(t-c)](s)=\mathrm e^{-cs}\mathcal L[f](s)</math> | ||
+ | |||
+ | === התמרות לפלס שימושיות === | ||
+ | בהתמרות הבאות, <math>a</math> הוא מספר ממשי כרצוננו. | ||
+ | * <math>\mathcal L\!\left[\mathrm e^{at}\right]\!(s)=\frac1{s-a},\quad s>a</math> | ||
+ | * <math>\mathcal L\!\left[t\mathrm e^{at}\right]\!(s)=\frac1{(s-a)^2},\quad s>a</math> | ||
+ | * <math>\mathcal L[\sin(at)](s)=\frac a{s^2+a^2},\quad s>0</math> | ||
+ | * <math>\mathcal L[\cos(at)](s)=\frac s{s^2+a^2},\quad s>0</math> | ||
+ | * <math>\mathcal L[H_c](s)=\frac{\mathrm e^{-cs}}s,\quad s>0</math> | ||
== מד״ח == | == מד״ח == | ||
* '''מעבר חום:''' נתונה המד״ח <math>\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (<math>k</math> קבוע) עם תנאי ההתחלה <math>\forall -L\le x\le L:\ u(x,0)=f(x)</math> ותנאי השפה <math>\forall t\ge0:\ u(-L,t)=u(L,t)\ \and\ \frac{\partial u}{\partial x}(-L,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)</math>. | * '''מעבר חום:''' נתונה המד״ח <math>\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (<math>k</math> קבוע) עם תנאי ההתחלה <math>\forall -L\le x\le L:\ u(x,0)=f(x)</math> ותנאי השפה <math>\forall t\ge0:\ u(-L,t)=u(L,t)\ \and\ \frac{\partial u}{\partial x}(-L,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)</math>. | ||
− | :* ''שיטת הפרדת משתנים'': נניח שניתן להציג את הפתרון <math>u(x,t)</math> כמכפלה <math>X(x)\cdot T(t)</math>. אזי <math>\frac{T'}{k T}=\frac{X''}X=:-\lambda</math> כאשר <math>\lambda</math> מספר חיובי (אם אי־חיובי תנאי השפה לא יתקיימו). מקבלים שתי מד״ר נפרדות: <math>\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T'+\lambda T=0\end{cases}</math>. לגבי המד״ר הראשונה, תנאי השפה דורשים ש־<math>\lambda=\frac{\pi^2n^2}{L^2}</math> עבור <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> ולכן, עבור <math>n</math> נתון, <math>X_n(x)=a_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)</math> פתרון | + | :* ''שיטת הפרדת משתנים'': נניח שניתן להציג את הפתרון <math>u(x,t)</math> כמכפלה <math>X(x)\cdot T(t)</math>. אזי <math>\frac{T'}{k T}=\frac{X''}X=:-\lambda</math> כאשר <math>\lambda</math> מספר חיובי (אם אי־חיובי תנאי השפה לא יתקיימו). מקבלים שתי מד״ר נפרדות: <math>\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T'+\lambda T=0\end{cases}</math>. לגבי המד״ר הראשונה, תנאי השפה דורשים ש־<math>\lambda=\frac{\pi^2n^2}{L^2}</math> עבור <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> ולכן, עבור <math>n</math> נתון, <math>X_n(x)=a_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)</math> פתרון לכל <math>a_n,b_n</math>. לגבי המד״ר השנייה, <math>T_n(t)=\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right)</math> הוא פתרון עבור <math>n</math> נתון. הפתרון הכללי של <math>u</math> הוא צירוף לינארי של פתרונות הבסיס: <math>u(x,t)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right)\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\right)</math>, כאשר מתנאי ההתחלה נובע ש־<math>a_n,b_n</math> מקדמי טור פורייה של <math>f</math> ב־<math>[-L,L]</math>. |
− | :* ''שימוש בהתמרת פורייה:'' נסמן <math>\hat u(\omega,t)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty u(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx</math> (כלומר, זו התמרת פורייה של <math>u</math> לפי <math>x</math>). לפי המד״ח <math>\frac{\partial\hat u}{\partial t}(\omega,t)=\frac k{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=k\mathcal F\!\left | + | :* ''שימוש בהתמרת פורייה:'' נסמן <math>\hat u(\omega,t)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty u(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx</math> (כלומר, זו התמרת פורייה של <math>u</math> לפי <math>x</math>). לפי המד״ח <math>\frac{\partial\hat u}{\partial t}(\omega,t)=\frac k{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=k\mathcal F\!\left[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right]\!(\omega,t)=k(\mathrm i\omega)^2\hat u(\omega,t)</math>. פתרונה של המד״ר הזו הוא <math>\hat u(\omega,t)=A(\omega)\mathrm e^{-k\omega^2t}</math>, והצבה של <math>t=0</math> תתן <math>A(\omega)=\hat u(\omega,0)=\hat f(\omega)</math>. עתה נחפש פונקציה <math>g</math> כך שהתמרת פורייה שלה לפי <math>x</math> תהא <math>\hat g(\omega,t)=\mathrm e^{-k\omega^2 t}</math>. לפי ההתמרה של <math>\mathrm e^{-x^2}</math> וכמה מתכונות ההתמרה נקבל <math>g(x,t)=\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{x^2}{4kt}\right)</math> ולכן, לפי משפט הקונבולוציה, <math>u(x,t)=\frac{g(x,t)*f(x)}{2\pi}=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(s)\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{(x-s)^2}{4kt}\right)\mathrm ds</math>. |
* '''משוואות גלים:''' נתונה המד״ח <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=k^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (<math>k\ne0</math> קבוע) עם תנאי ההתחלה <math>u(x,0)=\varphi(x)</math> ו־<math>\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x)</math> ותנאי שפה <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה <math>X(x)\cdot T(t)</math> (''שיטת הפרדת משתנים'') ולכן <math>\frac{T''}{k^2 T}=\frac{X''}X=:-\lambda</math> עבור <math>\lambda</math> מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות: <math>\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T''+k^2\lambda T=0\end{cases}</math>, ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל <math>u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)\right)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)</math> כאשר <math>a_n=\frac2L\int\limits_0^L\varphi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx\ \and\ b_n=\frac2{\pi kn}\int\limits_0^L\psi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx</math>. | * '''משוואות גלים:''' נתונה המד״ח <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=k^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (<math>k\ne0</math> קבוע) עם תנאי ההתחלה <math>u(x,0)=\varphi(x)</math> ו־<math>\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x)</math> ותנאי שפה <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה <math>X(x)\cdot T(t)</math> (''שיטת הפרדת משתנים'') ולכן <math>\frac{T''}{k^2 T}=\frac{X''}X=:-\lambda</math> עבור <math>\lambda</math> מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות: <math>\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T''+k^2\lambda T=0\end{cases}</math>, ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל <math>u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)\right)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)</math> כאשר <math>a_n=\frac2L\int\limits_0^L\varphi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx\ \and\ b_n=\frac2{\pi kn}\int\limits_0^L\psi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx</math>. | ||
+ | * נתונה מד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. נפעיל התמרת לפלס על אגפי המד״ר, נבודד את <math>\mathcal L[y]</math> (תוך שימוש בהתמרת הנגזרת ובנוסחאות אחרות) ונמצא את ההתמרה ההפוכה שלה. |
גרסה מ־21:44, 22 בספטמבר 2012
תוכן עניינים
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
- פונקציות.
- בהנתן נסמן ו־.
- הם מקדמי פורייה של (בהתאמה) בטור פורייה של , ו־ מקדמי פורייה של בטור פורייה המרוכב.
- היא העצרת הכפולה של , והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם אי־זוגי) מ־1 עד , או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר: ו־.
- אורתונורמלית ו־ אורתוגונלית.
תזכורות ותוספות לאלגברה לינארית
- אי־שוויון הולדר: אם כאשר (כלומר, צמודים) אזי .
- אם אזי .
- ההיטל של על הוא .
- אם בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־ ב־ הוא , כלומר .
- אי־שוויון בסל: .
- תהליך גרם־שמידט: בהנתן בסיס נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי ובסיס אורתונורמלי באופן הבא:
- מרחב הפולינומים ממעלה או פחות מסומן .
- פולינומי לז׳נדר: בהנתן המכפלה הפנימית על מרחב הפולינומים , הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס הם ניתן לחשב אותם גם ע״י או , והם מקיימים .
- פולינומי צבישב: בהנתן המכפלה הפנימית על מרחב הפולינומים , הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס הם ניתן לחשב אותם גם ע״י (נוסחת רודריגז) או , והם מקיימים .
טורי פורייה
- פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין בקטע יוצרות מרחב מכפלה פנימית עם . מכפלה פנימית שימושית נוספת היא .
- הוא סימון מקוצר ל־.
- מערכת סגורה: נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור את התנאי .
- המערכות ו־ אורתונורמליות סגורות ב־ לפי המכפלות הפנימיות ו־ בהתאמה.
- טור פורייה של ב־ הוא כאשר .
- אם זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
- מתקיים .
- טור פורייה המרוכב של ב־ הוא כאשר .
- מתקיים וכן .
- אם ו־ הסכום החלקי ה־־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של , אזי .
- הוא מרחב כל הפוקנציות ב־ שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה ב־ למעט, אולי, בקצות הקטע.
- משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה): תהי אינטגרבילית בהחלט ב־ ובעלת מחזור . בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור פורייה ב־ מתכנס ל־.
- אם אזי ניתן ליצור המשכה מחזורית שלה ב־.
- אם נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־.
- תופעת גיבס: נניח שבנוסף ו־ נקודת אי־רציפות מסוג ראשון של כך ש־. כמו כן, הסכום החלקי ה־־י של טור פורייה של . אזי קיימת סדרת נקודות המקיימת וכן , וזו השגיאה המקסימלית.
- למת רימן־לבג: אם אינטגרבילית בהחלט אזי כאשר (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
- גרעין דיריכלה: . בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־ שווה ל־.
- אם רציפה ב־ ו־ אז טור פורייה של יתכנס אליה במ״ש על הקטע.
- שוויון פרסבל: אם אזי ו־.
- שוויון פרסבל המוכלל: אם אזי כאשר .
- אם רציפה ב־, ו־ אזי טור פורייה של גזיר איבר־איבר ומתקיים .
- אם אזי ניתן לבצע אינטגרציה איבר־איבר על טור פורייה. בנוסף, לכל ולכל מתקייםוהטורים מתכנסים במ״ש.
- אם קדומה ל־ ב־ אזי .
התמרות פורייה
- הוא המרחב הלינארי של כל הפונקציות המוגדרות מ־ ל־ שהן רציפות למקוטעין ואינטגרביליות בהחלט ב־.
- התמרת פורייה: נקראת "התמרת פורייה של " ומוגדרת ע״י .
- אם אזי מוגדרת ורציפה בכל נקודה . בנוסף, .
- לכל ולכל מתקיים:
- אם ממשית אזי .
- מקרה פרטי: אם ממשית וזוגית אזי והיא פונקציה ממשית.
- מקרה פרטי: אם ממשית ואי־זוגית אזי והיא פונקציה מדומה.
- אם מדומה אזי .
- אם אזי .
- אם אזי .
- אם אזי .
- אם אזי .
- אם ו־ אזי .
- אם מתכנס אזי גזירה ברציפות ומתקיים .
- התמרת פורייה ההפוכה: אם אזי בכל נקודה שבה קיימות הנגזרות החד־צדדיות מתקיים .
- מקרה פרטי: אם אזי .
- עקרון הדואליות של ההתמרה וההתמרה ההפוכה: תהי המקיימת , ונרצה למצוא את התמרת פורייה של ההתמרה שלה. נוכל להציב ב־, לחלק את שני האגפים ב־ ולקבל .
- אם ו־ ו־ מתכנסים אזי .
- מקרה פרטי: נוסחת פלנרשל (Plancherel): אם ו־ ו־ מתכנסים אזי .
- קונבולוציה: יהיו . אזי .
- אם אינטגרביליות בהחלט אז מוגדרת עבורן בכל וגם היא אינטגרבילית בהחלט.
- משפט הקונבולוציה: .
- שימוש חשוב: נניח שידועות ונרצה למצוא כך ש־. אזי .
התמרות פורייה שימושיות
- (הוכחה ע״י חישוב הנגזרת של האינטגרל שמגדיר את ההתמרה ופתרון המד״ר המתקבלת: ).
- עבור : (כאשר היא הפונקציה המציינת של קבוצה , ומוגדרת ע״י ).
התמרות לפלס
- חסימות מעריכית: נאמר ש־ חסומה מעריכית אם קיימים (חסם מעריכי) ו־ (סדר מעריכי) שעבורם .
- הוא המרחב הלינארי של פונקציות חסומות מעריכית כך ש־ והן אינטגרביליות בהחלט ב־ לכל .
- התמרת לפלס: תהי המקבלת ערכים ב־. אזי נקראת "התמרת לפלס של " ומוגדרת ע״י .
- אם וחסומה מעריכית אזי .
- אם עם סדר מעריכי אז קיימת לה התמרת לפלס ב־.
- משפט התמורה של הנגזרת: תהי עם חסם מעריכי וכך ש־. אזי התמרת לפלס של מוגדרת ב־ ומתקיים .
- קונבולוציה: יהיו . אזי .
- משפט הקונבולוציה: . אם בנוסף עם סדר מעריכי אז מוגדר לכל .
- תהא ונתונה . ממשפט הקונבולוציה עם נקבל .
- פונקציית הביסייד (Heaviside) היא .
התמרות לפלס שימושיות
בהתמרות הבאות, הוא מספר ממשי כרצוננו.
מד״ח
- מעבר חום: נתונה המד״ח ( קבוע) עם תנאי ההתחלה ותנאי השפה .
- שיטת הפרדת משתנים: נניח שניתן להציג את הפתרון כמכפלה . אזי כאשר מספר חיובי (אם אי־חיובי תנאי השפה לא יתקיימו). מקבלים שתי מד״ר נפרדות: . לגבי המד״ר הראשונה, תנאי השפה דורשים ש־ עבור ולכן, עבור נתון, פתרון לכל . לגבי המד״ר השנייה, הוא פתרון עבור נתון. הפתרון הכללי של הוא צירוף לינארי של פתרונות הבסיס: , כאשר מתנאי ההתחלה נובע ש־ מקדמי טור פורייה של ב־.
- שימוש בהתמרת פורייה: נסמן (כלומר, זו התמרת פורייה של לפי ). לפי המד״ח . פתרונה של המד״ר הזו הוא , והצבה של תתן . עתה נחפש פונקציה כך שהתמרת פורייה שלה לפי תהא . לפי ההתמרה של וכמה מתכונות ההתמרה נקבל ולכן, לפי משפט הקונבולוציה, .
- משוואות גלים: נתונה המד״ח ( קבוע) עם תנאי ההתחלה ו־ ותנאי שפה . נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה (שיטת הפרדת משתנים) ולכן עבור מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות: , ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל כאשר .
- נתונה מד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. נפעיל התמרת לפלס על אגפי המד״ר, נבודד את (תוך שימוש בהתמרת הנגזרת ובנוסחאות אחרות) ונמצא את ההתמרה ההפוכה שלה.