שינויים
/* משוואות ברנולי */
אם <math>\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a&b\end{vmatrix}=0</math> אז יש <math>\lambda</math> שעבורה <math>a_1=\lambda a\ \and\ b_1=\lambda b</math> ואז <math>y'=f\left(\frac{\lambda(ax+by)+c_1}{(ax+by)+c}\right)</math>. נציב <math>z=ax+by</math> ונפתור כפי שאנו כבר יודעים.
== מד״ר לינארית מסדר I 1 ==
אלה מד״ר מהצורה <math>y'+p(x)y=q(x)</math> כאשר <math>p,q</math> לאו דווקא לינאריות. היא תקרא לינארית־הומוגנית אם <math>q(x)\equiv0</math>, ובמקרה זה נקבל:{{left|<math>\begin{align}&\int\frac{\mathrm dy}y=-\int p(x)\mathrm dx\\\implies&y=c\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}\end{align}</math>}}
במקרה הלא הומוגני נוכל להכפיל את אגפי המשוואה ב־<math>\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}</math> ונקבל <math>y'\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}+p(x)y\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}=\left(y\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}\right)'=q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}</math>. לכן {{left|<math>\begin{align}y&=\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx-c_1}\left(c_2+\int q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}\mathrm dx\right)\\&=\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}\left(c_2\mathrm e^{-c_1}+\mathrm e^{-c_1}\mathrm e^{c_1}\int q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx\right)\\&=\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}\left(c+\int q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx\right)\end{align}</math>}}
=== דוגמה ===
נתונה המד״ר <math>y'=\frac{x^2-y}x</math> עם תנאי התחלה <math>y(1)=5</math>. אזי <math>y'+\frac1xy=x</math> ולכן, מפני שזו מד״ר לינארית מסוג Iמסדר 1,
{|
{{=|l=y |r=\mathrm e^{-\int\frac{\mathrm dx}x}\left(c+\int x\mathrm e^{\int\frac{\mathrm dx}x}\mathrm dx\right) |c=<math>c\in\mathbb R</math> }}
== משוואות ברנולי ==
אלה מד״ר מהצורה <math>y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\ne0,1</math>. אם <math>n>0</math> אז <math>y(x)\equiv0</math> פתרון (רגולרי או סינגולרי). אם <math>n<0</math> אזי <math>y(x)\equiv0</math> אינו פתרון, לכן נוכל להתייחס למד״ר השקולה <math>\frac{y'}{y^n}+p(x)y^{1-n}=q(x)</math> ולהציב <math>z=y^{1-n}</math>. נקבל <math>z'=(1-n)y^{-n}y'</math> ואז <math>z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)</math>, שהיא מד״ר לינארית מסוג Iמסדר 1. לפיכן <math>z=\mathrm e^{(n-1)\int p(x)\mathrm dx}\left(c+\int(1-n)q(x)\mathrm e^{\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\mathrm dx\right)</math> ולבסוף, <math>y=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{(n-1)\int p(x)\mathrm dx}\left(c+\int(1-n)pq(x)\mathrm e^{\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\mathrm dx\right)}</math>.
עבור <math>n>1</math>, ‏ <math>y\equiv0</math> פתרון פרטי (רגולרי), עבור <math>0<n<1</math> זה פתרון סינגולרי, ועבור <math>n<0</math> הוא אינו פתרון.
=== מקרה 1 ===
<math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>x</math>. לכן <math>\frac{\partial\mu}{\partial y}</math> מתאפס ומכאן נובע (כאשר <math>a:=\frac{\frac{\partial QP}{\partial xy}-\frac{\partial PQ}{\partial yx}}Q</math>) ש־{{left|<math>\begin{align}&-\frac{\partial\mu}{\partial x}=a\mu\\\implies&\frac{\partialmathrm d\mu}\mu\mathrm dx=-a\mathrm dx\\\implies&\mu(x)=\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int a\mathrm dx}\end{align}</math>}}
נשים לב ש־<math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>x</math> אם״ם <math>a</math> תלויה רק ב־<math>x</math>.
=== מקרה 2 ===
<math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>y</math>. זה מתקיים אם״ם <math>b:=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P</math> תלויה רק ב־<math>y</math>, ואז <math>\mu(y)=\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int b\mathrm dy}</math>.
==== תרגיל ====
===== פתרון =====
מתקיים <math>\frac{\partial P}{\partial y}=-x^2\ne\frac{\partial Q}{\partial x}=2xy-3x^2</math>, כלומר המד״ר אינה מדויקת. נשים לב ש־<math>\frac{\frac{\partial QP}{\partial xy}-\frac{\partial PQ}{\partial yx}}Q=-\frac2x</math>, כלומר תלויה אך ורק ב־<math>x</math>, ולכן נגדיר <math>\mu=\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int-\frac2x\mathrm dx}=\mathrm e^{-2\ln|x|}=-\frac1{x^2}</math>. נכפיל את אגפי המד״ר ב־<math>-\mu</math> ונקבל <math>\left(\frac1{x^2}-y\right)\mathrm dx+(y-x)\mathrm dy=0</math>. המד״ר החדשה מקיימת <math>\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=-1</math>, ומכאן נוכל להמשיך לפתור כרגיל: מתקיים <math>U=\int\left(\frac1{x^2}-y\right)\mathrm dx=-\frac1x-xy+c_y(y)</math> וגם <math>y-x=\frac{\partial U}{\partial y}=-x+c_y'(y)</math>. אזי <math>c_y'(y)=y\implies c_y(y)=\frac{y^2}2+c</math>, ולבסוף הפתרון הוא <math>U=-\frac1x-xy+\frac{y^2}2+c=0</math>. {{משל}}
''הערה:'' נשים לב ש־<math>\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P=\frac{2xy-2x^2}{1-x^2y}</math> תלויה גם ב־<math>x</math> וגם ב־<math>y</math>, ולכן הגדרת <math>\mu</math> התלויה ב־<math>y</math> לא תועיל לנו.
