הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/31.7.12"
(←פתרון) |
מ (←משוואות ברנולי) |
||
(5 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 18: | שורה 18: | ||
אם <math>\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a&b\end{vmatrix}=0</math> אז יש <math>\lambda</math> שעבורה <math>a_1=\lambda a\ \and\ b_1=\lambda b</math> ואז <math>y'=f\left(\frac{\lambda(ax+by)+c_1}{(ax+by)+c}\right)</math>. נציב <math>z=ax+by</math> ונפתור כפי שאנו כבר יודעים. | אם <math>\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a&b\end{vmatrix}=0</math> אז יש <math>\lambda</math> שעבורה <math>a_1=\lambda a\ \and\ b_1=\lambda b</math> ואז <math>y'=f\left(\frac{\lambda(ax+by)+c_1}{(ax+by)+c}\right)</math>. נציב <math>z=ax+by</math> ונפתור כפי שאנו כבר יודעים. | ||
− | == מד״ר לינארית | + | == מד״ר לינארית מסדר 1 == |
אלה מד״ר מהצורה <math>y'+p(x)y=q(x)</math> כאשר <math>p,q</math> לאו דווקא לינאריות. היא תקרא לינארית־הומוגנית אם <math>q(x)\equiv0</math>, ובמקרה זה נקבל:{{left|<math>\begin{align}&\int\frac{\mathrm dy}y=-\int p(x)\mathrm dx\\\implies&y=c\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}\end{align}</math>}} | אלה מד״ר מהצורה <math>y'+p(x)y=q(x)</math> כאשר <math>p,q</math> לאו דווקא לינאריות. היא תקרא לינארית־הומוגנית אם <math>q(x)\equiv0</math>, ובמקרה זה נקבל:{{left|<math>\begin{align}&\int\frac{\mathrm dy}y=-\int p(x)\mathrm dx\\\implies&y=c\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}\end{align}</math>}} | ||
במקרה הלא הומוגני נוכל להכפיל את אגפי המשוואה ב־<math>\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}</math> ונקבל <math>y'\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}+p(x)y\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}=\left(y\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}\right)'=q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}</math>. לכן {{left|<math>\begin{align}y&=\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx-c_1}\left(c_2+\int q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}\mathrm dx\right)\\&=\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}\left(c_2\mathrm e^{-c_1}+\mathrm e^{-c_1}\mathrm e^{c_1}\int q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx\right)\\&=\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}\left(c+\int q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx\right)\end{align}</math>}} | במקרה הלא הומוגני נוכל להכפיל את אגפי המשוואה ב־<math>\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}</math> ונקבל <math>y'\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}+p(x)y\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}=\left(y\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}\right)'=q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}</math>. לכן {{left|<math>\begin{align}y&=\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx-c_1}\left(c_2+\int q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx+c_1}\mathrm dx\right)\\&=\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}\left(c_2\mathrm e^{-c_1}+\mathrm e^{-c_1}\mathrm e^{c_1}\int q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx\right)\\&=\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}\left(c+\int q(x)\mathrm e^{\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx\right)\end{align}</math>}} | ||
שורה 24: | שורה 24: | ||
''הערה:'' מד״ר לינארית־הומוגנית אינה בהכרח מד״ר הומוגנית, כלומר לא בהכרח מתקיים <math>y'=f\left(\frac yx\right)</math> עבור <math>f</math> כלשהי. | ''הערה:'' מד״ר לינארית־הומוגנית אינה בהכרח מד״ר הומוגנית, כלומר לא בהכרח מתקיים <math>y'=f\left(\frac yx\right)</math> עבור <math>f</math> כלשהי. | ||
− | == וריאצית הפרמטרים == | + | === וריאצית הפרמטרים === |
− | נניח שהפתרון | + | נניח שהפתרון של <math>y'+p(x)y=0</math> הוא <math>cy_b(x)</math>, ואנו רוצים למצוא את הפתרון <math>c(x)y_b(x)</math> של <math>y'+p(x)y=q(x)</math> עבור <math>q</math> ידועה. נציב <math>c(x)y_b(x)</math> במד״ר ונקבל <math>c(x)y_b'(x)+c'(x)y_b(x)+p(x)c(x)y_b(x)=q(x)</math>. לכן <math>c'(x)y_b(x),q(x)</math> המקדמים הייחידים שאינם מוכפלים ב־<math>y</math> או ב־<math>y'</math>, ומכאן ש־<math>c'(x)y_b(x)=q(x)</math>. נותר לפתור את המד״ר <math>c'(x)=\frac{q(x)}{y_b(x)}</math>. |
=== דוגמה === | === דוגמה === | ||
− | נתונה המד״ר <math>y'=\frac{x^2-y}x</math> עם תנאי התחלה <math>y(1)=5</math>. אזי <math>y'+\frac1xy=x</math> ולכן, מפני שזו מד״ר לינארית | + | נתונה המד״ר <math>y'=\frac{x^2-y}x</math> עם תנאי התחלה <math>y(1)=5</math>. אזי <math>y'+\frac1xy=x</math> ולכן, מפני שזו מד״ר לינארית מסדר 1, |
{| | {| | ||
{{=|l=y |r=\mathrm e^{-\int\frac{\mathrm dx}x}\left(c+\int x\mathrm e^{\int\frac{\mathrm dx}x}\mathrm dx\right) |c=<math>c\in\mathbb R</math> }} | {{=|l=y |r=\mathrm e^{-\int\frac{\mathrm dx}x}\left(c+\int x\mathrm e^{\int\frac{\mathrm dx}x}\mathrm dx\right) |c=<math>c\in\mathbb R</math> }} | ||
שורה 40: | שורה 40: | ||
== משוואות ברנולי == | == משוואות ברנולי == | ||
− | אלה מד״ר מהצורה <math>y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\ne0,1</math>. אם <math>n>0</math> אז <math>y(x)\equiv0</math> פתרון (רגולרי או סינגולרי). אם <math>n<0</math> אזי <math>y(x)\equiv0</math> אינו פתרון, לכן נוכל להתייחס למד״ר השקולה <math>\frac{y'}{y^n}+p(x)y^{1-n}=q(x)</math> ולהציב <math>z=y^{1-n}</math>. נקבל <math>z'=(1-n)y^{-n}y'</math> ואז <math>z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)</math>, שהיא מד״ר לינארית | + | אלה מד״ר מהצורה <math>y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\ne0,1</math>. אם <math>n>0</math> אז <math>y(x)\equiv0</math> פתרון (רגולרי או סינגולרי). אם <math>n<0</math> אזי <math>y(x)\equiv0</math> אינו פתרון, לכן נוכל להתייחס למד״ר השקולה <math>\frac{y'}{y^n}+p(x)y^{1-n}=q(x)</math> ולהציב <math>z=y^{1-n}</math>. נקבל <math>z'=(1-n)y^{-n}y'</math> ואז <math>z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)</math>, שהיא מד״ר לינארית מסדר 1. לפיכן <math>z=\mathrm e^{(n-1)\int p(x)\mathrm dx}\left(c+\int(1-n)q(x)\mathrm e^{\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\mathrm dx\right)</math> ולבסוף, <math>y=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{(n-1)\int p(x)\mathrm dx}\left(c+\int(1-n)q(x)\mathrm e^{\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\mathrm dx\right)}</math>. |
עבור <math>n>1</math>, ‏ <math>y\equiv0</math> פתרון פרטי (רגולרי), עבור <math>0<n<1</math> זה פתרון סינגולרי, ועבור <math>n<0</math> הוא אינו פתרון. | עבור <math>n>1</math>, ‏ <math>y\equiv0</math> פתרון פרטי (רגולרי), עבור <math>0<n<1</math> זה פתרון סינגולרי, ועבור <math>n<0</math> הוא אינו פתרון. | ||
שורה 63: | שורה 63: | ||
=== מקרה 1 === | === מקרה 1 === | ||
− | <math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>x</math>. לכן <math>\frac{\partial\mu}{\partial y}</math> מתאפס ומכאן נובע (כאשר <math>a:=\frac{\frac{\partial | + | <math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>x</math>. לכן <math>\frac{\partial\mu}{\partial y}</math> מתאפס ומכאן נובע (כאשר <math>a:=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}Q</math>) ש־ |
− | {{left|<math>\begin{align}& | + | {{left|<math>\begin{align}&\frac{\partial\mu}{\partial x}=a\mu\\\implies&\frac{\mathrm d\mu}\mu=a\mathrm dx\\\implies&\mu(x)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int a\mathrm dx}\end{align}</math>}} |
נשים לב ש־<math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>x</math> אם״ם <math>a</math> תלויה רק ב־<math>x</math>. | נשים לב ש־<math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>x</math> אם״ם <math>a</math> תלויה רק ב־<math>x</math>. | ||
=== מקרה 2 === | === מקרה 2 === | ||
− | <math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>y</math>. זה מתקיים אם״ם <math>b:=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P</math> תלויה רק ב־<math>y</math>, ואז <math>\mu(y)=\mathrm e^{ | + | <math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>y</math>. זה מתקיים אם״ם <math>b:=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P</math> תלויה רק ב־<math>y</math>, ואז <math>\mu(y)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int b\mathrm dy}</math>. |
==== תרגיל ==== | ==== תרגיל ==== | ||
שורה 74: | שורה 74: | ||
===== פתרון ===== | ===== פתרון ===== | ||
− | מתקיים <math>\frac{\partial P}{\partial y}=-x^2\ne\frac{\partial Q}{\partial x}=2xy-3x^2</math>, כלומר המד״ר אינה מדויקת. נשים לב ש־<math>\frac{\frac{\partial | + | מתקיים <math>\frac{\partial P}{\partial y}=-x^2\ne\frac{\partial Q}{\partial x}=2xy-3x^2</math>, כלומר המד״ר אינה מדויקת. נשים לב ש־<math>\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}Q=-\frac2x</math>, כלומר תלויה אך ורק ב־<math>x</math>, ולכן נגדיר <math>\mu=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int-\frac2x\mathrm dx}=\mathrm e^{-2\ln|x|}=-\frac1{x^2}</math>. נכפיל את אגפי המד״ר ב־<math>-\mu</math> ונקבל <math>\left(\frac1{x^2}-y\right)\mathrm dx+(y-x)\mathrm dy=0</math>. המד״ר החדשה מקיימת <math>\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=-1</math>, ומכאן נוכל להמשיך לפתור כרגיל: מתקיים <math>U=\int\left(\frac1{x^2}-y\right)\mathrm dx=-\frac1x-xy+c_y(y)</math> וגם <math>y-x=\frac{\partial U}{\partial y}=-x+c_y'(y)</math>. אזי <math>c_y'(y)=y\implies c_y(y)=\frac{y^2}2+c</math>, ולבסוף הפתרון הוא <math>U=-\frac1x-xy+\frac{y^2}2+c=0</math>. {{משל}} |
''הערה:'' נשים לב ש־<math>\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P=\frac{2xy-2x^2}{1-x^2y}</math> תלויה גם ב־<math>x</math> וגם ב־<math>y</math>, ולכן הגדרת <math>\mu</math> התלויה ב־<math>y</math> לא תועיל לנו. | ''הערה:'' נשים לב ש־<math>\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P=\frac{2xy-2x^2}{1-x^2y}</math> תלויה גם ב־<math>x</math> וגם ב־<math>y</math>, ולכן הגדרת <math>\mu</math> התלויה ב־<math>y</math> לא תועיל לנו. |
גרסה אחרונה מ־17:30, 3 באוקטובר 2012
תוכן עניינים
מד״ר מסדר ראשון (המשך)
דוגמה שימושית
נניח שגודל החוב ממשכנתה בזמן מסוים הוא . הריבית היא כחלק מגודל החוב ליחידת זמן, וההחזר הוא בכמות כסף ליחידת זמן. אזי . אם נניח שהבנק מחשב את הריבית באופן רציף וש־ נקבלנוסיף תנאי התחלה . לכן ולבסוף . ניתן לראות שאם אזי הפונקציה עולה, כלומר החוב גדל בהתמדה ולעולם לא נחזיר את ההלוואה. לעומת זאת, אם אז החוב נותר קבוע כל הזמן, ואם אזי נסיים לשלם את המשכנתה כאשר , כלומר כאשר .
מד״ר פתירות ע״י משוואה הומוגנית
כבר למדנו לפתור מד״ר מהצורה . היום נלמד לפתור את .
מקרה 1
נניח ש־. נסמן ולכן . נדרוש שהמקדמים החופשיים (בכחול) יהיו 0 בשני המקרים, כלומר . נקבל , וזו מד״ר מהצורה , שאותה אנו יודעים לפתור.
דוגמה
נפתור . נציב כנ״ל ולפיכך . עלינו לדרוש ש־ ומכאן ש־ וגם . נסמן ואזעתה מציבים ומקבלים את הפתרון בצורה של פונקציה סתומה.
מקרה 2
אם אז יש שעבורה ואז . נציב ונפתור כפי שאנו כבר יודעים.
מד״ר לינארית מסדר 1
אלה מד״ר מהצורה כאשר לאו דווקא לינאריות. היא תקרא לינארית־הומוגנית אם , ובמקרה זה נקבל: במקרה הלא הומוגני נוכל להכפיל את אגפי המשוואה ב־ ונקבל . לכןהערה: מד״ר לינארית־הומוגנית אינה בהכרח מד״ר הומוגנית, כלומר לא בהכרח מתקיים עבור כלשהי.
וריאצית הפרמטרים
נניח שהפתרון של הוא , ואנו רוצים למצוא את הפתרון של עבור ידועה. נציב במד״ר ונקבל . לכן המקדמים הייחידים שאינם מוכפלים ב־ או ב־, ומכאן ש־. נותר לפתור את המד״ר .
דוגמה
נתונה המד״ר עם תנאי התחלה . אזי ולכן, מפני שזו מד״ר לינארית מסדר 1,
קבוע בכל אחד מהקטעים . לכן נחשב שני מקרים – כאשר בקטע הראשון וכאשר בקטע השני – ונוציא בכל מקרה את מחוץ לאינטגרל. התוצאה היא תמיד: | ||||||
נציב את תנאי ההתחלה: , לכן .
משוואות ברנולי
אלה מד״ר מהצורה . אם אז פתרון (רגולרי או סינגולרי). אם אזי אינו פתרון, לכן נוכל להתייחס למד״ר השקולה ולהציב . נקבל ואז , שהיא מד״ר לינארית מסדר 1. לפיכן ולבסוף, .
עבור , פתרון פרטי (רגולרי), עבור זה פתרון סינגולרי, ועבור הוא אינו פתרון.
תרגיל
פתרו .
פתרון
עבור הסימנים הנ״ל , כלומר . נציב ואז , ולבסוף .
מד״ר מדויקת
מד״ר מהצורה כך שקיימת עבורה . לפיכך והמד״ר הופכת ל־ כלומר . תנאי הכרחי ומספיק לקיום כנ״ל הוא (הכרחי כי ).
תרגיל
פתרו .
פתרון
מתקיים , כדרוש לקיום . ננסה לחשב כנ"ל: . עתה נדרוש ש־ ואז . לסיכום, פתרון המד״ר הוא (נשים לב שניתן לבחור גם כל קבוע אחר מלבד 0, אבל שינוי כזה בסה״כ יחליף את הקבוע ).
מד״ר לא מדויקת
תהי מד״ר שאינה מדויקת, ונרצה לפתור אותה ע״י גורמי אינטגרציה: ננסה להכפיל את אגפי המד״ר ב־ ולקבל מד״ר מדויקת . לשם כך צריכה לקיים , ובאופן שקול (נשים לב שזו מד״ח).
מקרה 1
תלויה רק ב־. לכן מתאפס ומכאן נובע (כאשר ) ש־
נשים לב ש־ תלויה רק ב־ אם״ם תלויה רק ב־.
מקרה 2
תלויה רק ב־. זה מתקיים אם״ם תלויה רק ב־, ואז .
תרגיל
פתרו את המד״ר .
פתרון
מתקיים , כלומר המד״ר אינה מדויקת. נשים לב ש־, כלומר תלויה אך ורק ב־, ולכן נגדיר . נכפיל את אגפי המד״ר ב־ ונקבל . המד״ר החדשה מקיימת , ומכאן נוכל להמשיך לפתור כרגיל: מתקיים וגם . אזי , ולבסוף הפתרון הוא .
הערה: נשים לב ש־ תלויה גם ב־ וגם ב־, ולכן הגדרת התלויה ב־ לא תועיל לנו.