מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר

משפטים חשובים

• משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית: תהי [math]\displaystyle{ \vec f(x,\vec y) }[/math] פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־[math]\displaystyle{ \vec y }[/math] בתיבה [math]\displaystyle{ B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_{0,k}-b_k,y_{0,k}+b_k] }[/math], ונתונים תנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ \vec y(x_0)=\vec y_0 }[/math]. אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע [math]\displaystyle{ |x-x_0|\lt \min\!\left(\{a\}\cup\left\{\frac{b_k}{\displaystyle\max_{(x,\vec y)\in B}|f_k(x,\vec y)|}:k\in\{1,\dots,n\}\right\}\right) }[/math].
• כל מד״ר מסדר [math]\displaystyle{ n }[/math] שקולה למערכת של [math]\displaystyle{ n }[/math] מד״ר מסדר 1: [math]\displaystyle{ F\!\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0\iff\begin{cases}y_1=y'\\y_2=y_1'\\\vdots\\y_{n-1}=y_{n-2}'\\F\!\left(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{n-1},y_{n-1}'\right)=0\end{cases} }[/math]. כמו כן, המערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית.

שיטות לפתרון מד״ר

מד״ר מסדר 1

• מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה [math]\displaystyle{ M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \exists y_0:\ N_1(y_0)=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ y\equiv y_0 }[/math] פתרון, ואם [math]\displaystyle{ \exists x_0:\ M_2(x_0)=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x\equiv x_0 }[/math] פתרון. אחרת [math]\displaystyle{ \int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=0 }[/math].
• נתונה מד״ר [math]\displaystyle{ y'=f(ax+by) }[/math]. אז נציב [math]\displaystyle{ z=ax+by }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y'=\frac{z'-a}b }[/math].
  • הכללה: נתונה מד״ר [math]\displaystyle{ y'=f\!\left(\frac{Ax+By+C}{ax+by+c}\right) }[/math] . אם [math]\displaystyle{ \begin{vmatrix}A&B\\a&b\end{vmatrix}\ne0 }[/math] נציב [math]\displaystyle{ \begin{cases}x=p+\alpha\\y=q+\beta\end{cases} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}A&B\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}C\\c\end{pmatrix} }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ q_p'=g\!\left(\frac qp\right) }[/math]. אחרת נבחר [math]\displaystyle{ \lambda=\frac Aa=\frac Bb }[/math] ונציב [math]\displaystyle{ z=ax+by }[/math].
• מד״ר הומוגנית: נתונה מד״ר [math]\displaystyle{ y'=f\!\left(\frac yx\right) }[/math]. אזי נציב [math]\displaystyle{ z=\frac yx }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y'=z'x+z }[/math].
• מד״ר לינארית: נתונה מד״ר [math]\displaystyle{ y'+p(x)y=q(x) }[/math]. אם היא לינארית־הומוגנית אזי [math]\displaystyle{ y=\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx} }[/math], ובכל מקרה [math]\displaystyle{ y=\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int q(x)\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx }[/math].
• משוואת ברנולי: נתונה מד״ר [math]\displaystyle{ y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\ne0,1 }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ z=y^{1-n} }[/math], כאשר אם [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math] אז [math]\displaystyle{ y\equiv0 }[/math] פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־[math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math]), אם [math]\displaystyle{ 0\lt n\lt 1 }[/math] אז פתרון סינגולרי, ואם [math]\displaystyle{ n\lt 0 }[/math] אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים: [math]\displaystyle{ y=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{-(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx} }[/math].
• מד״ר מהצורה [math]\displaystyle{ P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=0 }[/math] היא מדויקת אם״ם יש [math]\displaystyle{ U }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ \mathrm dU }[/math] שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם [math]\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} }[/math].
  • אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־[math]\displaystyle{ \mu }[/math] כך שתהפוך למדויקת. [math]\displaystyle{ \mu }[/math] תלויה רק ב־[math]\displaystyle{ x }[/math] אם״ם [math]\displaystyle{ a=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}Q }[/math] תלויה רק ב־[math]\displaystyle{ x }[/math], ואז [math]\displaystyle{ \mu(x)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int a\mathrm dx} }[/math]. היא תלויה רק ב־[math]\displaystyle{ y }[/math] אם״ם [math]\displaystyle{ b=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P }[/math] תלויה רק ב־[math]\displaystyle{ y }[/math], ואז [math]\displaystyle{ \mu(y)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int b\mathrm dy} }[/math].
• משוואת ריקרטי: מד״ר מהצורה [math]\displaystyle{ y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0 }[/math]. הפתרון הכללי הוא מהצורה [math]\displaystyle{ y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ y(x)\equiv y_p(x) }[/math] פתרון אזי [math]\displaystyle{ y(x)=y_p(x)+\left(\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\int\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\mathrm dx\right)^{-1} }[/math] הפתרון הכללי.
• נתונה מד״ר [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0 }[/math] ממעלה [math]\displaystyle{ n }[/math]. אזי קיימות פונקציות [math]\displaystyle{ f_k }[/math] שעבורן [math]\displaystyle{ \prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0 }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ F(y,y')=0 }[/math] נציב [math]\displaystyle{ z=y' }[/math] ואז [math]\displaystyle{ x=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz }[/math]. בנוסף, אם [math]\displaystyle{ y=\varphi(t) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ z=\psi(t) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ F(x,y')=0 }[/math] נציב [math]\displaystyle{ z=y' }[/math] ואז [math]\displaystyle{ y=zx-\int x\mathrm dz }[/math]. בנוסף, אם [math]\displaystyle{ x=\varphi(t) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ z=\psi(t) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ y=\int\varphi_t'(t)\psi(t)\mathrm dt }[/math].
• שיטת פיקארד: נתונה בעיית ההתחלה [math]\displaystyle{ \begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases} }[/math]. נבחר פונקציה [math]\displaystyle{ \varphi_0 }[/math] שעבורה [math]\displaystyle{ \varphi_0(x)\equiv y_0 }[/math], וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת [math]\displaystyle{ \varphi_n(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm dt }[/math]. במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים) [math]\displaystyle{ \varphi=\lim_{n\to\infty}\varphi_n }[/math] היא פתרון של הבעיה.
• משוואת קלרו: נתונה המד״ר [math]\displaystyle{ y=xy'+\psi(y') }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ y=cx+\psi(c),\quad c\in\mathbb R }[/math] או (כאשר [math]\displaystyle{ p:=y' }[/math]) [math]\displaystyle{ \begin{cases}x=-\psi_p'(p)\\y=-p\psi_p'(p)+\psi(p)\end{cases} }[/math].
• משוואת לגראנז׳: נתונה המד״ר [math]\displaystyle{ y=x\varphi(y')+\psi(y') }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \varphi(y')\not\equiv y' }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ p:=y' }[/math] ואז [math]\displaystyle{ p=\varphi(p)+\Big(x\varphi_p'(p)+\psi_p'(p)\Big)\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx} }[/math]. לפיכך [math]\displaystyle{ x }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ x=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\int\frac{\psi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\mathrm dp }[/math] או [math]\displaystyle{ \varphi(p)\equiv p }[/math] (מקרה זה יש לבדוק בנפרד), ו־[math]\displaystyle{ y }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ y=x\varphi(p)+\psi(p) }[/math].

מד״ר מסדר 2

• בהנתן מד״ר [math]\displaystyle{ y''=f(x,y') }[/math] או [math]\displaystyle{ y''=f(y,y') }[/math] נציב [math]\displaystyle{ z=y' }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ z'=f(x,z) }[/math] או [math]\displaystyle{ zz_y'=f(y,z) }[/math], בהתאמה. מתקיים [math]\displaystyle{ x=\int\frac{\mathrm dy}z=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y=\int z\mathrm dx }[/math].

מד״ר מכל סדר

מד״ר לינארית

בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, המד״ר היא [math]\displaystyle{ y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x) y^{(k)}=f(x) }[/math].

• אם המד״ר לינארית־הומוגנית אז מרחב הפתרונות שלה הוא מרחב וקטורי.
  • אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות [math]\displaystyle{ n }[/math] מימדי.
• ורונסקיאן: עבור קבוצת פונקציות [math]\displaystyle{ y_1,\dots,y_n }[/math] מגדירים [math]\displaystyle{ W(y_1,\dots,y_n)(x)=W(x):=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix} }[/math].
  • אם [math]\displaystyle{ y_1,\dots,y_n }[/math] ת״ל אזי [math]\displaystyle{ W(x)\equiv0 }[/math].
  • אם [math]\displaystyle{ y_1,\dots,y_n }[/math] פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום [math]\displaystyle{ D }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \exists x_0\in D:\ W(x_0)=0 }[/math] אזי הם ת״ל.
• משפט ליוביל: אם [math]\displaystyle{ y_1,\dots,y_n }[/math] פתרונות בת״ל של המד״ר והיא הומוגנית אזי [math]\displaystyle{ \forall x:\ W(x)=W(x_0)\mathrm e^{-\int\limits_{x_0}^x a_{n-1}(t)\mathrm dt} }[/math].
• הפתרון הכללי של המד״ר הוא [math]\displaystyle{ y=y_h+y_p }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ y_h }[/math] הפתרון הכללי של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־[math]\displaystyle{ y_p }[/math] פתרון פרטי כלשהו של המד״ר.
• וריאציית הפרמטרים: נתונים [math]\displaystyle{ y_1,\dots,y_n }[/math] פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n y_k(x)\int c_k'(x)\mathrm dx }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1'\\c_2'\\\vdots\\c_n'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\f(x)\end{pmatrix} }[/math]. באופן שקול: [math]\displaystyle{ c_k'(x)=\frac{W_k(x)}{W(x)} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ W_k(x)=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_{k-1}(x)&0&y_{k+1}(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_{k-1}'(x)&0&y_{k+1}'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_{k-1}^{(n-1)}(x)&f(x)&y_{k+1}^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix} }[/math].
• נניח שהמד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב [math]\displaystyle{ y=\mathrm e^{rx} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ y^{(k)}=r^k\mathrm e^{rx} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ r^n+\sum_{k=0}^{n-1} a_k r^k }[/math] (זה הפולינום האופייני של המשוואה) שווה ל־0. אם השורשים השונים זה מזה הם [math]\displaystyle{ r_1,\dots,r_m }[/math] והריבויים שלהם [math]\displaystyle{ d_1,\dots,d_m }[/math] בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא [math]\displaystyle{ y=\sum_{k=1}^m\mathrm e^{r_kx}\sum_{i=0}^{d_k-1}c_{k,i}x^i }[/math]. אם [math]\displaystyle{ r_k }[/math] אינו ממשי ניתן לכתוב [math]\displaystyle{ r_k=\alpha+\beta\mathrm i }[/math] ואז, כיוון ש־[math]\displaystyle{ \overline{r_k} }[/math] שורש עם אותו ריבוי, נציב [math]\displaystyle{ C_1\mathrm e^{r_kx}+C_2\mathrm e^{\overline{r_k}x}=\mathrm e^{\alpha x}\Big(c_1\cos(\beta x)+c_2\sin(\beta x)\Big) }[/math].

• שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים: נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן [math]\displaystyle{ f(x)=\mathrm e^{\lambda x}\sum_{k=0}^m b_k x^k }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] קבועה (יכולה להיות גם 0), והריבוי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] בפולינום האופייני הוא [math]\displaystyle{ d }[/math] (במידה ו־[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] לא שורש נאמר [math]\displaystyle{ d=0 }[/math]). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה [math]\displaystyle{ \mathrm e^{\lambda x}x^d\sum_{k=0}^m B_k x^k }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ b_m,B_m\ne0 }[/math]. הערה: אם [math]\displaystyle{ f(x)=g(x)+h(x) }[/math] נוכל לפתור עבור [math]\displaystyle{ g(x),h(x) }[/math] בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים.

• משוואת אוילר(־לגראנג׳) היא מד״ר לינארית מהצורה [math]\displaystyle{ (x-x_0)^ny^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k (x-x_0)^k y^{(k)}=f(x) }[/math] עם [math]\displaystyle{ \forall k:\ a_k=\text{const.} }[/math]. מציבים [math]\displaystyle{ x-x_0=\begin{cases}\mathrm e^t,&x\gt x_0\\-\mathrm e^t,&x\lt x_0\end{cases} }[/math] במד״ר ההומוגנית ואז [math]\displaystyle{ y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\frac1{x-x_0},\ y''=\mathrm e^{-2t}\left(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}-\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\right),\ \dots }[/math]. נקבל משוואה לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים, וניתן להמשיך לפתור אותה באופן זה. לחלופין, אנו לומדים מכך שאפשר להציב [math]\displaystyle{ y=(x-x_0)^r }[/math] במד״ר ההומוגנית ולקבל [math]\displaystyle{ r^n+\sum_{k=0}^{n-1} b_k r^k=0 }[/math] (משוואה אינדיציאלית). אם השורשים השונים זה מזה הם [math]\displaystyle{ r_1,\dots,r_m }[/math] והריבויים שלהם [math]\displaystyle{ d_1,\dots,d_m }[/math] בהתאמה אזי הפתרון ההומוגני הכללי הוא [math]\displaystyle{ y=\sum_{k=1}^m (x-x_0)^{r_k}\sum_{i=0}^{d_k-1}c_{k,i}\ln^i(x-x_0) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ r_k }[/math] אינו ממשי ניתן לכתוב [math]\displaystyle{ r_k=\alpha+\beta\mathrm i }[/math] ואז, כיוון ש־[math]\displaystyle{ \overline{r_k} }[/math] שורש עם אותו ריבוי, נציב [math]\displaystyle{ C_1(x-x_0)^{r_k}+C_2(x-x_0)^{\overline{r_k}}=(x-x_0)^\alpha\Big(c_1\cos(\beta\ln(x-x_0))+c_2\sin(\beta\ln(x-x_0))\Big) }[/math].

• אם [math]\displaystyle{ f(x)=(x-x_0)^\lambda\sum_{k=0}^m b_k \ln^k(x-x_0) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] קבועה (יכולה להיות גם 0), והריבוי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] במשוואה האינדיציאלית הוא [math]\displaystyle{ d }[/math] (אם לא שורש [math]\displaystyle{ d=0 }[/math]). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה [math]\displaystyle{ (x-x_0)^\lambda\ln^d(x-x_0)\sum_{k=0}^m B_k \ln^k(x-x_0) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ b_m,B_m\ne0 }[/math].

פתרון מד״ר באמצעות טורי חזקות

• נתונה מד״ר מהצורה [math]\displaystyle{ y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1} a_k(x)y^{(k)}=f(x) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \forall k:\ f(x),a_k(x)\in C(a,b) }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ x_0\in(a,b) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ f }[/math] וכל המקדמים [math]\displaystyle{ a_k }[/math] אנליטיים סביב [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] עם רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ R }[/math] או יותר אזי קיים פתרון אנליטי סביב [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] של המד״ר עם רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ R }[/math] או יותר.
• טור פרוביניוס הוא טור מהצורה [math]\displaystyle{ (x-x_0)^r\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k }[/math].
• בהנתן [math]\displaystyle{ a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=0 }[/math] נחלק ב־[math]\displaystyle{ a_2(x) }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודה סינגולרית של [math]\displaystyle{ \frac1{a_2(x)} }[/math]. אם קיימים הגבולות [math]\displaystyle{ L_k=\lim_{x\to x_0}(x-x_0)^{2-k}\frac{a_k(x)}{a_2(x)} }[/math] הנקודה נקראת סינגולרית־רגולרית. בקרבת [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ 0=(x-x_0)^2y''+\frac{a_1(x)}{a_2(x)}(x-x_0)y'+\frac{a_0(x)}{a_2(x)}y=(x-x_0)^2y''+(L_1+o(1))(x-x_0)y'+(L_0+o(1))y }[/math]. לפי משפט, אם [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודה סינגולרית־רגולרית אזי קיים פתרון אנליטי למד״ר סביב [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] בצורת בצורת טור פרוביניוס. לכן נפתור עבור [math]\displaystyle{ o(1)=0 }[/math], נציב [math]\displaystyle{ y=(x-x_0)^r }[/math] ונקבל את הפתרונות בצורת טורים של המד״ר עם [math]\displaystyle{ o(1)=0 }[/math] (אם פתרונות הפולינום האופייני של המד״ר עם [math]\displaystyle{ o(1)=0 }[/math] הם [math]\displaystyle{ r_1,r_2 }[/math] אז [math]\displaystyle{ y_k=(x-x_0)^{r_k}\sum_{i=0}^\infty b_{k,i}(x-x_0)^i }[/math] פתרון פרטי). נציב פתרונות אלו במד״ר המקורית ונקבל את מקדמי הטורים.
  הערה: נאמר ש־[math]\displaystyle{ f\in o(g) }[/math] אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0 }[/math]. לעתים כותבים "[math]\displaystyle{ o(1) }[/math]" לציון איבר הנמצא בקבוצה זו, ולא הקבוצה עצמה.

• משוואת בסל: [math]\displaystyle{ x^2y''+xy'+(x^2-m^2)y=0 }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ y''+\frac1xy'+\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lim x\frac1x=1,\ \lim x^2\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=-m^2 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ 0 }[/math] סיגולריות־רגולרית.
• פונציית גמא: [math]\displaystyle{ \Gamma(x):=\int\limits_0^\infty t^{x-1}\mathrm e^{-t}\mathrm dt }[/math]. היא מקיימת [math]\displaystyle{ \Gamma(xּּ+1)=x\Gamma(x) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb N:\ \Gamma(n)=(n-1)! }[/math].
• משוואת אוילר: [math]\displaystyle{ x^2y''+xy'-m^2y=0 }[/math].