הבדלים בין גרסאות בדף "וקטור עצמי"
מתוך Math-Wiki
(←חישוב ע"ע וו"ע) |
(←דוגמאות) |
||
שורה 23: | שורה 23: | ||
==דוגמאות== | ==דוגמאות== | ||
+ | ===א=== | ||
+ | מצא את הערכים העצמיים והמרחבים העצמיים של המטריצה | ||
+ | |||
+ | <math>A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{bmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''פתרון.''' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math>: | ||
+ | |||
+ | <math>-f_A=|A-\lambda I|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | לכן '''הערכים העצמיים''' של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הינם '''2''' ו'''6'''. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של <math>A</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | המרחב העצמי של <math>\lambda</math> שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>(A-\lambda I)v=0</math>. | ||
+ | |||
+ | בסיס למרחב האפס <math>N(A-2I)</math> הינו <math>\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> ובסיס למרחב האפס <math>N(A-6I)</math> הינו <math>\{(1,2,1)\}</math>. |
גרסה מ־09:44, 20 באוקטובר 2012
תוכן עניינים
הגדרה
יהי שדה F, ותהי מטריצה ריבועית מעל השדה
יהיו ו- כך ש:
אזי v נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של המטריצה A ו הוא הערך העצמי (ע"ע) המתאים לו.
חישוב ע"ע וו"ע
נביט ב הפולינום האופייני של המטריצה A. אזי הוא ע"ע של A אם"ם .
כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.
לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב המרחב העצמי:
(הזכרו בהגדרה של מרחב האפס)
דוגמאות
א
מצא את הערכים העצמיים והמרחבים העצמיים של המטריצה
פתרון.
קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של :
לכן הערכים העצמיים של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הינם 2 ו6.
כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של .
המרחב העצמי של שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית .
בסיס למרחב האפס הינו ובסיס למרחב האפס הינו .