הבדלים בין גרסאות בדף "וקטור עצמי"
(←דוגמאות) |
(←א) |
||
שורה 34: | שורה 34: | ||
קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math>: | קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math>: | ||
− | <math> | + | <math>f_A=|A-\lambda I|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)</math> |
שורה 46: | שורה 46: | ||
בסיס למרחב האפס <math>N(A-2I)</math> הינו <math>\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> ובסיס למרחב האפס <math>N(A-6I)</math> הינו <math>\{(1,2,1)\}</math>. | בסיס למרחב האפס <math>N(A-2I)</math> הינו <math>\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> ובסיס למרחב האפס <math>N(A-6I)</math> הינו <math>\{(1,2,1)\}</math>. | ||
+ | |||
+ | ===ב=== | ||
+ | |||
+ | מצא ע"ע וו"ע של המטריצה <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}</math> מעל הממשיים ומעל המרוכבים. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''פתרון.''' | ||
+ | |||
+ | קל לראות כי הפולינום האופייני הינו <math>f_\lambda = x^2+1</math>, ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיוון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים. | ||
+ | |||
+ | לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הינם <math>\pm i</math> והבסיסים למרחבים העצמיים הינם <math>\{(1,i)\},\{(1,-i)\}</math> |
גרסה מ־09:54, 20 באוקטובר 2012
תוכן עניינים
הגדרה
יהי שדה F, ותהי מטריצה ריבועית מעל השדה
יהיו ו- כך ש:
אזי v נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של המטריצה A ו הוא הערך העצמי (ע"ע) המתאים לו.
חישוב ע"ע וו"ע
נביט ב הפולינום האופייני של המטריצה A. אזי הוא ע"ע של A אם"ם .
כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.
לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב המרחב העצמי:
(הזכרו בהגדרה של מרחב האפס)
דוגמאות
א
מצא את הערכים העצמיים והמרחבים העצמיים של המטריצה
פתרון.
קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של :
לכן הערכים העצמיים של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הינם 2 ו6.
כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של .
המרחב העצמי של שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית .
בסיס למרחב האפס הינו ובסיס למרחב האפס הינו .
ב
מצא ע"ע וו"ע של המטריצה מעל הממשיים ומעל המרוכבים.
פתרון.
קל לראות כי הפולינום האופייני הינו , ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיוון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.
לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הינם והבסיסים למרחבים העצמיים הינם