הבדלים בין גרסאות בדף "וקטור עצמי"
(←א) |
(←חישוב ע"ע וו"ע) |
||
שורה 21: | שורה 21: | ||
(הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה|מרחב האפס]]) | (הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה|מרחב האפס]]) | ||
+ | |||
+ | '''הוכחה:''' | ||
+ | |||
+ | כל התנאים הבאים שקולים: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *x הינו ע"ע של המטריצה A | ||
+ | לפי ההגדרה: | ||
+ | |||
+ | *קיים <math>v\neq 0</math> וגם <math>Av=xv</math> | ||
+ | מעבר אגפים: | ||
+ | |||
+ | *קיים <math>v\neq 0</math> וגם <math>Av-xv=0</math> | ||
+ | (דיסטריביוטיביות של כפל מטריצות:) | ||
+ | |||
+ | *קיים <math>v\neq 0</math> וגם <math>(A-xI)v=0</math> | ||
+ | לפי ההגדרה: | ||
+ | |||
+ | *קיים פתרון לא טריוויאלי במרחב האפס <math>N(A-xI)</math> | ||
+ | משפט מלינארית 1: | ||
+ | |||
+ | *המטריצה <math>A-xI</math> '''אינה''' הפיכה | ||
+ | משפט מלינארית 1: | ||
+ | |||
+ | *<math>|A-xI|=0</math> | ||
+ | לפי הגדרה: | ||
+ | |||
+ | *<math>f(x)=0</math> | ||
==דוגמאות== | ==דוגמאות== |
גרסה מ־17:09, 22 באוקטובר 2012
תוכן עניינים
הגדרה
יהי שדה F, ותהי מטריצה ריבועית מעל השדה
יהיו ו- כך ש:
אזי v נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של המטריצה A ו הוא הערך העצמי (ע"ע) המתאים לו.
חישוב ע"ע וו"ע
נביט ב הפולינום האופייני של המטריצה A. אזי הוא ע"ע של A אם"ם .
כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.
לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב המרחב העצמי:
(הזכרו בהגדרה של מרחב האפס)
הוכחה:
כל התנאים הבאים שקולים:
- x הינו ע"ע של המטריצה A
לפי ההגדרה:
- קיים וגם
מעבר אגפים:
- קיים וגם
(דיסטריביוטיביות של כפל מטריצות:)
- קיים וגם
לפי ההגדרה:
- קיים פתרון לא טריוויאלי במרחב האפס
משפט מלינארית 1:
- המטריצה אינה הפיכה
משפט מלינארית 1:
לפי הגדרה:
דוגמאות
א
מצא את הערכים העצמיים והמרחבים העצמיים של המטריצה
פתרון.
קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של :
לכן הערכים העצמיים של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הינם 2 ו6.
כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של .
המרחב העצמי של שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית .
בסיס למרחב האפס הינו ובסיס למרחב האפס הינו .
ב
מצא ע"ע וו"ע של המטריצה מעל הממשיים ומעל המרוכבים.
פתרון.
קל לראות כי הפולינום האופייני הינו , ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיוון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.
לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הינם והבסיסים למרחבים העצמיים הינם