88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/1

1

מצא ע"ע ומרחבים עצמיים של המטריצות הבאות:

א

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} }[/math]

ב

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} }[/math]

ג

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -5 & 4\end{pmatrix} }[/math]

2

תהי מטריצה ריבועית A ויהיו [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] ו"ע של A עם ע"ע [math]\displaystyle{ x_1,x_2 }[/math] בהתאמה.

הוכח: [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] תלויים לינארית אם"ם [math]\displaystyle{ x_1=x_2 }[/math]

3

יהי וקטור שורה [math]\displaystyle{ v=(x_1,...,x_n) }[/math]. מצא את הע"ע והמרחבים העצמיים של המטריצה

[math]\displaystyle{ A=v^Tv }[/math]

(כאשר [math]\displaystyle{ v^T }[/math] הוא הוקטור v בעמודה)

רמז: מהי הדרגה של המטריצה A? שנית, אתם יכולים לנסות כמה דוגמאות על מנת להבין את הרעיון.

4

תהיינה A,B מטריצות דומות

א

הוכח כי למטריצות [math]\displaystyle{ A,A^T }[/math] אותו פולינום אופייני ולכן גם אותם ע"ע

ב

הוכח כי לשתי המטריצות אותו פולינום אופייני ולכן גם אותם ע"ע

ג

יהי פולינום כלשהו [math]\displaystyle{ g(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n }[/math].

הוכח כי המטריצות [math]\displaystyle{ g(A),g(B) }[/math] דומות

(תזכורת: [math]\displaystyle{ g(A)=a_0I+a_1A+...+a_nA^n }[/math])

5

א

הוכח כי 0 ע"ע של A אם"ם A אינה הפיכה.

ב

תהנייה שתי מטריצות A,B. הוכח כי למטריצות [math]\displaystyle{ AB,BA }[/math] אותם ע"ע

רמז. [math]\displaystyle{ A(BA)v=(AB)Av }[/math]