89-214 סמסטר א' תשעג

89-214 מבנים אלגבריים

מרצה (בשתי הקבוצות): דר' מיכאל שיין

מתרגלים (שלוש קבוצות): חיים רוזנר יובך חצ'טריאן

בחינות-עבר וחומר עזר נוסף אפשר למצוא באתר המרצה.

ראו גם:

• תמצית הקורס ותקצירי ההרצאות
• דף תרגילים, כולל [math]\displaystyle{ \ \Longleftarrow }[/math]שאלות ותשובות[math]\displaystyle{ \ \Longrightarrow }[/math].
• דף משוב

דרישות קדם

דרישות הקדם הפורמליות הן קורס כלשהו באלגברה לינארית (88-112, 89-112 או 89-119), וקורס במתמטיקה בדידה (88-195 או 89-195).

אני מניח שאתם מכירים את המושגים הבאים (ואם לא, זה הזמן להשלים): קבוצה, תת-קבוצה, איחוד, חיתוך, יחס טרנזיטיבי, יחס סימטרי, יחס רפלקסיבי, יחס שקילות, יחס סדר חלש, מחלקת שקילות, פונקציה, פונקציה חד-חד-ערכית, פונקציה על, הרכבת פונקציות.

רשימת מושגים

במהלך הקורס נלמד מהם: מחלק (ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z} }[/math]), חברות (ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z} }[/math]), מחלק משותף מקסימלי, מנה ושארית (עדיין ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z} }[/math]), צירוף שלם, מספרים זרים, מספר ראשוני, פירוק לגורמים, חבורה למחצה, מונויד, איבר יחידה, איבר הפיך (במונויד), איבר הפכי (במונויד, בחבורה), מונויד עם צמצום, תת-חבורה, סדר של חבורה, חבורה ציקלית, חבורת אוילר, חבורה דיהדרלית, מכפלה ישרה חיצונית, קוסטים של תת-חבורה, החבורה הטריוויאלית, אינדקס של תת-חבורה, סדר של איבר, יוצר של חבורה ציקלית, קבוצת יוצרים של חבורה, מכפלה של תת-קבוצות בחבורה, תת-חבורות מתחלפות, היפוך של תת-קבוצה בחבורה, מכפלה של תת-חבורות, הומומורפיזם, אפימורפיזם, איזומורפיזם, אוטומורפיזם, גרעין, תמונה, תת-חבורה נורמלית, חבורת מנה, מרְכַז של חבורה, הצמדה, אוטומורפיזם פנימי, חבורת האוטומורפיזמים, מרכֵּז של איבר, מחלקת צמידות, החבורה הסימטרית מסדר n, תמורה, מחזור, חילוף, סימן, חבורת התמורות הזוגיות, חבורה פשוטה, מכפלה ישרה פנימית, נורמליזטור, קומוטטור, תת-חבורת הקומוטטורים, אקספוננט (של חבורה אבלית), צורה קנונית (של חבורה אבלית סופית); פולינום אי-פריק, מימד של הרחבת שדות, שדה הרחבה ביחס לפולינום אי-פריק, מאפיין של שדה, חבורה כפלית של שדה.

הודעות כלליות

• העליתי לאתר שלי גרסה מעודכנת של החוברת (2.49). עריכת הפרק הראשון, השמטת סעיף או שניים ובעיקר הקטנת הפונט אפשרו לרדת בחזרה לכ-100 עמודים.

שעורי חזרה

בחינת מועד ב' תתקיים ב-23/3. נקיים שעור חזרה ביום שני ב-12 (שעות המחלקה שלכם). על מקום השעור נודיע כאן.

תוכן השעור: פתרון לשאלות של הסטודנטים.

על המבחן

דוגמת בחינות

להלן דוגמת הבחינות של מועד א' ומועד ב'.

• ענו על כל השאלות. השאלות השונות תקבלנה משקל: 25, 20, 20, 15, 10, 10 נקודות, מן התשובה הטובה ביותר לפחות טובה.
• משך המבחן. שלוש שעות. לא תנתן הארכה.

שאלות:

1. שאלה על מונוידים ועל מושגי היסוד בחבורות (לרבות סדר של אברים, תת-חבורות וקוסטים).
2. שאלה על מושגים מתקדמים יותר בחבורות (מרכז, מרכז ומנרמל, מחלקות צמידות, שוויון המחלקות, מכפלות של תת-חבורות)
3. שאלה על הומומורפיזמים, חבורות מנה ומשפטי האיזומורפיזם.
4. שאלה על חבורות סימטריות ואוטומורפיזמים.
5. שאלה על חבורות אבליות (לרבות מכפלות ישרות).
6. שאלה על שדות.

• בהצלחה.

דגשים לקראת הבחינה

רצוי להבין היטב את הוכחת המשפטים העיקריים שלמדנו בקורס: משפט לגרנז', משפט קיילי, משפט קושי, ומשפט המיון לחבורות האבליות הסופיות.

(משפט לגרנז': הסדר של חבורה מחלק את הסדר של תת-חבורה. גרסה שקולה לזה: הסדר של תת-חבורה, כפול האינדקס שלה בחבורה, הוא סדר החבורה כולה. מסקנה: הסדר של איבר מחלק את סדר החבורה).

(משפט קיילי: כל חבורה סופית אפשר לשכן בחבורה סימטרית. "חבורה סימטרית" הוא שמן של החבורות [math]\displaystyle{ \ S_n }[/math] של התמורות על n אברים).

(משפט קושי: בחבורה שהסדר שלה מתחלק בראשוני p יש איבר מסדר p).

(משפט המיון לחבורות האבליות הסופיות: לכל חבורה אבלית סופית יש הצגה קנונית יחידה. "הצגה קנונית" היא הצגה של החבורה כסכום ישר של חבורות ציקליות [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_t} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \ d_1|\cdots | d_t }[/math]).

הבדלים ביחס לשנים קודמות

לתועלת מי שמתכונן למבחן על-ידי פתרון שאלות משנים קודמות, יש כמה הבדלים שכדאי לשים לב אליהם:

1. השנה שמנו יותר דגש על תאוריה בתורת החבורות, מעבר למינימום של השנים הקודמות, ופחות על דוגמאות מפורשות. בהתאמה לזה אינני מבקש מכם דוגמאות נגדיות לחבורות בעלות תכונות שונות.
2. ראו להלן הדגש על משפטים מרכזיים.
3. השנה לא למדנו חוגים.
4. בבניית שדות, עליכם להבין את המבנה הפנימי של השדה.