88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/1: הבדלים בין גרסאות בדף
(←6) |
(←2) |
||
שורה 15: | שורה 15: | ||
תהי מטריצה ריבועית A ויהיו <math>v_1,v_2</math> ו"ע של A עם ע"ע <math>x_1,x_2</math> בהתאמה. | תהי מטריצה ריבועית A ויהיו <math>v_1,v_2</math> ו"ע של A עם ע"ע <math>x_1,x_2</math> בהתאמה. | ||
'''הוכח''': <math> | '''הוכח''': אם <math>x_1\neq x_2</math> אזי <math>v_1,v_2</math> בת"ל | ||
==3== | ==3== |
גרסה אחרונה מ־14:38, 25 באוקטובר 2012
1
מצא ע"ע ומרחבים עצמיים של המטריצות הבאות:
א
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} }[/math]
ב
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} }[/math]
ג
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -5 & 4\end{pmatrix} }[/math]
2
תהי מטריצה ריבועית A ויהיו [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] ו"ע של A עם ע"ע [math]\displaystyle{ x_1,x_2 }[/math] בהתאמה.
הוכח: אם [math]\displaystyle{ x_1\neq x_2 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] בת"ל
3
יהי וקטור שורה [math]\displaystyle{ v=(x_1,...,x_n) }[/math]. מצא את הע"ע והמרחבים העצמיים של המטריצה
- [math]\displaystyle{ A=v^Tv }[/math]
(כאשר [math]\displaystyle{ v^T }[/math] הוא הוקטור v בעמודה)
רמז: מהי הדרגה של המטריצה A? שנית, אתם יכולים לנסות כמה דוגמאות על מנת להבין את הרעיון.
4
תהיינה A,B מטריצות דומות
א
הוכח כי למטריצות [math]\displaystyle{ A,A^T }[/math] אותו פולינום אופייני ולכן גם אותם ע"ע
ב
הוכח כי לשתי המטריצות אותו פולינום אופייני ולכן גם אותם ע"ע
ג
יהי פולינום כלשהו [math]\displaystyle{ g(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n }[/math].
הוכח כי המטריצות [math]\displaystyle{ g(A),g(B) }[/math] דומות
(תזכורת: [math]\displaystyle{ g(A)=a_0I+a_1A+...+a_nA^n }[/math])
5
א
הוכח כי 0 ע"ע של A אם"ם A אינה הפיכה.
ב
תהנייה שתי מטריצות A,B. הוכח כי למטריצות [math]\displaystyle{ AB,BA }[/math] אותם ע"ע
רמז. [math]\displaystyle{ A(BA)v=(AB)Av }[/math]