שיחה:88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעב

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

טעויות

5ב חסר מצא

10 חסר הפעולה שעליה אתם מדברים לא רשמתם אם כפל מטריצות או חיבור מטריצות

הכוונה היא לכפל מטריצות. גילי 18:37, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

טעות נוספת?

בשאלה 3, אם m=0 אז ההגדרה לא מתאימה למה סביר שרציתם. צריך לכתוב Z כוכב. או [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]

צודק. גילי 20:45, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

שאלות 9 11 ו- 12

למה הכוונה כשאומרים [math]\displaystyle{ U_n : n \in \mathbb{N} }[/math] ? איזה קבוצה זה?

אני משער שקבוצת המספרים k שבין 0 ל n המקיימים 1=(k,n).

אתה לא טועה :)

מה זה אומר [math]\displaystyle{ (k,n)=1 }[/math]?

זה אומר שהמחלק המשותף המקסימלי שלהם שווה 1, במילים אחרות זה אומר שהם זרים (אין להם אף גורם ראשוני משותף) גילי 11:06, 5 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 1 שאלה 6

איך אני מתמודד עם קומטטיביות? אני צריך שa*b=b*a ואני לא מבין את המשמעות הקומבינטורית של זה? אפשר עזרה או כיוון לפתרון?

תחשוב איך אתה מביע באופן כללי מבנה אלגברי מעל קבוצה בת חמישה איברים. כמה מבנים אלגברים כאלה קיימים? מה מיוחד במבנים אלגבריים קומוטטיבים מבחינת הפעולה? גילי 20:47, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

שאלה 7 תרגיל 1

האם צריך להוכיח אסיוציאטיביות?

כמובן, זה חלק מהדרישות בהגדרת מונואיד. גילי 23:07, 5 באוגוסט 2012 (IDT)

למה יש שיעור השלמה ביום שישי?

זה במקום שיעור כלשהו?

תרגיל 2 שאלה 1.5

מה ההגדרה של An? בתודה מראש ג.--ג.יפית 12:27, 11 באוגוסט 2012 (IDT)

An היא חבורת התמורות הזוגיות ב Sn - התמורות שאם תכתבי אותן כמכפלה של חילופים, מספר החילופים יהיה זוגי. גילי 09:46, 12 באוגוסט 2012 (IDT)

ג. יפית?!

יש טעות בתרגיל 3 שאלה 1

5 מופיע פעמיים בתמורה כאילו שני איבירם שונים הולכים ל5

נכון. זה אמור להיות 7 הולך לשתיים. גילי 18:15, 13 באוגוסט 2012 (IDT)

אם כבר בטעויות עסקינן, גם 10 מפוקפק טיפה. +3

יש טעות בתמורה בשאלה 3.1

נכון, בשאלה 10 עליכם להוכיח שאם [math]\displaystyle{ \phi }[/math] הוא הומומורפיזם ו [math]\displaystyle{ a\in ker\phi }[/math] אז לכל [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] [math]\displaystyle{ gag^{-1}\in ker\phi }[/math] גילי 20:57, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 3 שאלה 10

מה הכוונה ב- 'G? זאת חבורה מיוחדת...?

לא, הכוונה בתרגיל היא ש [math]\displaystyle{ \phi }[/math] הוא הומומורפיזם בין שתי חבורות. אין משמעות מיוחדת לסימון [math]\displaystyle{ G' }[/math] בהקשר של תרגיל זה. כמו שציינתי, המטרה היא להוכיח שאם [math]\displaystyle{ \phi }[/math] הוא הומומורפיזם ו [math]\displaystyle{ a\in ker\phi }[/math] אז לכל [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] [math]\displaystyle{ gag^{-1}\in ker\phi }[/math] גילי 20:59, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 3 שאלה 6 סעיף ג'

בתרגיל 3 שאלה 6 סעיף ג':

האם הכוונה למחלקת הצמידות של האיבר ב - A או למחלקת הצמידות שלו ב - S4?

A היא תת חבורה של S4. אם היה מדובר על מחלקת הצמידות ב A של איבר ב A, אז ברור כי כל מחלקת הצמידות היתה מוכלת ב A. לכן, באופן כללי, כששואלים אם מחלקת צמידות של איבר השייך לתת חבורה H של G מוכלת כולה בתוך H, הכוונה היא למחלקת הצמידות שלו ב G. גילי 12:04, 17 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 3 שאלה 11א'

בסעיף זה התבקשו להוכיח כי פונקציית הסימן היא הומומורפיזם של חבורות. השאלה אם צריך להוכיח במפורש שהיא כפלית או שאפשר להסתמך על זה?

אם אנו נדרשים להוכיח שהיא כפלית, איך אנחנו מגדירים את הסימן: עם חילופי סדר או עם מכפלת חילופים?

ובהמשך לשאלה הזו, אם הגדרנו באחת מהדרכים ויותר נוח לי להשתמש בשנייה, האם אני צריך להראות את השקילות?

בתודה מראש, אופיר (:

1. ניתן להסתמך על התכונה ש sign(ab)=sign(a)sign(b.

2. אין צורך להראות את השקילות.

ב7 אני צריך להוכיח שG חבורה?

או שאפר להסתמך על זה?

כן, יש להוכיח ש G חבורה. גילי 08:41, 21 באוגוסט 2012 (IDT)

מה התאים של גילי/אפי?

ועד איזה שעה ביום רביעי להגיש?

התא שלי הוא תא מספר 11. אני לא בטוחה לגבי התא של אפי, אבל השם שלו כתוב עליו. ניתן להגיש עד סוף יום רביעי - העיקר שבחמישי בבוקר התרגילים יהיו בתא. גילי 20:59, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

עצמה

איך מוכיחים שיש חבורה מכל עוצמה? (ללא הנחת השערת הרצף המוכללת, שאיתה כנראה אפשר לקחת פונקציות של פונקציות של...R)

(לא מתרגל) תסתכל על החבורה החופשית הנוצרת ע"י קבוצה מאותה העוצמה (נסמנה בa). מכיוון שאנחנו מוגבלים לאורך סופי של מילים, נקבל איחוד בן מנייה של קבוצות מעוצמה a, ולכן העוצמה של החבורה היא a.

הנקודה היחידה שצריך להוסיף היא שעבור כל עוצמה סופית - פשוט תיקח את החבורה הציקלית מאותו סדר. גילי 21:02, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

ב12.1 אני צריך להוכיח שG תת חבורה?

או שזה ידוע?

אני מניחה שהכוונה היא ל [math]\displaystyle{ G' }[/math]. ולא, אין צורך להוכיח שהיא תת חבורה, כי מעצם הגדרתה בתור תת החבורה הנוצרת ע"י קבוצת הקומוטטורים מתקבל שהיא תת חבורה. כמובן, את זה ניתן לציין. גילי 12:21, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

קוסטים

למה אם [math]\displaystyle{ H \leq G }[/math] , [math]\displaystyle{ a,b \in G }[/math],

[math]\displaystyle{ ab^{-1} \in H }[/math] אז [math]\displaystyle{ aH=bH }[/math]?

שים לב שזה אם [math]\displaystyle{ a^{-1}b \in H }[/math] אז [math]\displaystyle{ aH=bH }[/math]. הנוסחה כמו שכתבת מתאימה למקרה של קוסטים ימניים.

כעת, לכל [math]\displaystyle{ h\in H }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ hH=H }[/math] כשההכלה [math]\displaystyle{ \subseteq }[/math] נובעת מהסגירות של [math]\displaystyle{ H }[/math] ואת ההכלה ההפוכה קל להוכיח : יהי [math]\displaystyle{ h_1\in H }[/math] אזי [math]\displaystyle{ h_1=h(h^{-1}h_1)\in hH }[/math].

בפרט אם נתון [math]\displaystyle{ a^{-1}b \in H }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ a^{-1}bH=H }[/math] ע"י כפל ב a משמאל נקבל, [math]\displaystyle{ bH=aH }[/math] כקבוצות. גילי 12:34, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

חבורת מנה

אם G/H היא חבורה אז [math]\displaystyle{ H\triangleleft G }[/math]?

G/H היא תמיד קבוצה. כשרוצים לבדוק אם G/H היא חבורה צריך להחליט מה הפעולה שמגדירים מעליה.

בהנחה שמנסים להגדיר פעולה כמו שהגדרתם בהרצאה, אז כן - G/H היא חבורה אמ"ם H היא תת חבורה נורמלית של G.

מעט יותר בפירוט, אם הפעולה [math]\displaystyle{ (aH)*(bH)=abH }[/math] מוגדרת היטב אז [math]\displaystyle{ H\triangleleft G }[/math].

אכן, לכל [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ h\in H }[/math]

[math]\displaystyle{ hH=eH }[/math]

[math]\displaystyle{ g^{-1}H=g^{-1}H }[/math]

לכן, אם הפעולה מוגדרת היטב אז:

[math]\displaystyle{ hg^{-1}H=eg^{-1}H }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ ghg^{-1}H=H }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ ghg^{-1}\in H }[/math]

לכן, H ת"ח נורמלית של G.

(לחילופין יכולנו להגדיר את הפעולה כמו שהגדרנו בתרגול - כשהמכפלה של שני קוסטים היא מכפלתם בתור קבוצות. עבור H ת"ח נורמלית, ראינו כי מתקבלת אותה פעולה. גם במקרה זה, הפעולה מוגדרת היטב אמ"ם H ת"ח נורמלית . אם H ת"ח נורמלית, ראינו כי הפעולה מוגדרת היטב. בכיוון השני, נניח כי לכל [math]\displaystyle{ a,b\in G }[/math] [math]\displaystyle{ (aH)(bH) }[/math] הוא קוסט.

אזי, לכל [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] קיים [math]\displaystyle{ c\in G }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ gHg^{-1}H=cH }[/math].

בפרט, [math]\displaystyle{ gHg^{-1}e\subseteq cH }[/math].

אבל [math]\displaystyle{ e=geg^{-1}e\in gHg^{-1}e\subseteq cH }[/math] לכן [math]\displaystyle{ c^{-1}\in H }[/math] ו [math]\displaystyle{ c\in H }[/math]. לכן, [math]\displaystyle{ cH=H }[/math] ובסה"כ [math]\displaystyle{ gHg^{-1}\subseteq H }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ H\triangleleft G }[/math]). גילי 15:33, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

הטלה

מהי, ומה הקשר שלה להטלה שאנחנו מכירים מלינארית?

אני מניחה שהכוונה היא להטלה ממכפלה ישרה של חבורות לאחד הגורמים במכפלה. במקרה זה, עבור [math]\displaystyle{ G=G_1 \times G_2 }[/math] הטלה לרכיב הראשון תהיה הפונקציה [math]\displaystyle{ \pi_1:G\rightarrow G_1 }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ \pi_1(g_1,g_2)=g_1 }[/math]. באופן דומה מגדירים הטלה לרכיב השני, או הטלה ממכפלה קרטזית של יותר חבורות.

לגבי הקשר ללינארית, במובן מסויים אפשר להסתכל על ההטלה הנ"ל בתור הכללה של הטלה במרחבי מכפלה פנימית. על הטלה של וקטור [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] לתמ"ו [math]\displaystyle{ W\leq V }[/math] ניתן להסתכל באופן הבא: W הוא תמ"ו של V, לכן קיים המשלים הניצב [math]\displaystyle{ W^{+}\leq V }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ V=W_1\oplus W_2 }[/math]. לפי תכונות הסכום הישר, v ניתן להצגה יחידה מהצורה [math]\displaystyle{ v=w_1+w_2 }[/math] כש [math]\displaystyle{ w_1\in W }[/math] ו [math]\displaystyle{ w_2 \in W^{+} }[/math]. ומתקיים ההטלה של v על W היא [math]\displaystyle{ \pi_{W}(v)=w_1 }[/math].

המקרה של חבורות מכליל מקרה זה שכן, מרחבים וקטוריים הם בפרט חבורות חיבוריות.

לעומת זאת, המקרה של חבורות אינו אנלוגי למקרה של מרחבים וקטוריים. בעוד שלתת מרחב וקטורי המשלים הניצב תמיד קיים ויחיד (ולכן, ניתן להגדיר היטל בצורה שתיארנו עכשיו) בחבורות זה לא המצב.

למשל, עבור החבורה [math]\displaystyle{ D_3 }[/math] ותת החבורה [math]\displaystyle{ C_3 }[/math], לא קיימת תת חבורה [math]\displaystyle{ H\leq D_3 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ D_3\cong C_3\times H }[/math]. גילי 16:00, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

אפשר דוגמא להפרכה ל

http://www.math-wiki.com/images/c/c6/A_06.pdf שאלה 6 ג',הסתכלתי בפתרונות ואין הפרכה שמה..

אם אני לא טועה זה היה בתרגילי הבית של שנה שעברה, תבדוק.

השאלה שאלה מצויינת. נפתור אותה בע"ה בשיעור החזרה. גילי 15:08, 6 בספטמבר 2012 (IDT)

משפט אוילר הראשון

מהו המשפט? חישוב פונקציית פי? או ההוכחה Un=Gr(Zn)q ?

לדעתי משפט אויילר הראשון הוא המשפט הקובע כי האיברים בחבורה [math]\displaystyle{ U_n }[/math] הם איברי [math]\displaystyle{ Z_n }[/math] הזרים ל [math]\displaystyle{ n }[/math]. כמובן, אם אתה רוצה להיות בטוח שהכוונה היא למשפט זה, עדיף שתבדוק את הכותרת במחברת ההרצאה או שתשאל את פרופ' מגרלי. בהצלחה. גילי 18:07, 9 בספטמבר 2012 (IDT)

נורמליות

עבור H תת-חבורה, ההעתקה [math]\displaystyle{ gH \; \mapsto \; Hg }[/math] מוגדרת היטב אםם [math]\displaystyle{ H \triangleleft G }[/math]? (ברור שמאל גורר ימין)

נוכיח כי צד ימין גורר את צד שמאל: נתון כי ההעתקה [math]\displaystyle{ gH \; \mapsto \; Hg }[/math] מוגדרת היטב. צ"ל [math]\displaystyle{ H\triangleleft G }[/math]. יהיו [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] ו [math]\displaystyle{ h\in H }[/math]. מ"ל: [math]\displaystyle{ ghg^{-1}\in H }[/math]. אבל: [math]\displaystyle{ gH=ghH }[/math] ונתון כי ההעתקה [math]\displaystyle{ gH \; \mapsto \; Hg }[/math] מוגדרת היטב, לכן [math]\displaystyle{ Hg=Hgh }[/math]. נכפול מימין ב [math]\displaystyle{ g^{-1} }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ H=Hghg^{-1} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ ghg^{-1}\in H }[/math]. גילי 17:57, 9 בספטמבר 2012 (IDT)

תרגיל אתגר מההרצאה

יהיו [math]\displaystyle{ H_2 \leq G }[/math], [math]\displaystyle{ H_1 \leq G }[/math]. צ"ל [math]\displaystyle{ [G:(H_1 \cap H_1)]\leq[G:(H_1)][G:(H_2)] }[/math] ע"י הגדרת פעולה מתאימה.

נסה להסתכל על הפעולה הטבעית רכיב רכיב של [math]\displaystyle{ G }[/math] על [math]\displaystyle{ G/H_1\times G/H_2 }[/math].

מה ניתן להגיד על הסדר של המסלול של [math]\displaystyle{ (H_1,H_2) }[/math]?

מה הקשר בינו לבין סדרי המסלולים של [math]\displaystyle{ H_1 }[/math] ו [math]\displaystyle{ H_2 }[/math] בפעולות הטבעית של [math]\displaystyle{ G }[/math] מעל [math]\displaystyle{ G/H_1 }[/math] ומעל [math]\displaystyle{ G/H_2 }[/math] בהתאמה? גילי 18:02, 9 בספטמבר 2012 (IDT)

קבוצה פורשת

נניח נתון לי שהחבורה G נוצרת ע"י האיברים [math]\displaystyle{ a_1, a_2, ... , a_n }[/math] ונניח גם ש - rank(G) = k עבור k<n כלשהו, כלומר [math]\displaystyle{ a_1, a_2, ... , a_n }[/math] יוצרים את החבורה אולם זו אינה קבוצה יוצרת מינימלית בגודלה. האם אני יכול להסיק מכך שיש איבר [math]\displaystyle{ a_i }[/math] בקבוצה הפורשת שלי שהוא מכפלה כלשהי של האיברים האחרים בקבוצה הפורשת (כמו באלגברה ליניארית)?

לא, למשל הדרגה של חבורת התמורות [math]\displaystyle{ S_n }[/math] היא 2. מצד שני ראינו שהיא נוצרת על ידי כל החילופים מהצורה [math]\displaystyle{ (1 i) }[/math] וברור כי חילוף כנ"ל לא ניתן להבעה בתור מכפלה של שאר החילופים מהצורה הנ"ל.

אשמח לעזרה בשאלה הבאה

נתונה פעולה G טרנזיטיבית לא טריוויאלית הוכח ש בG קיימת [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ X_g =\varnothing }[/math].

הצלחתי לא משנה שאלה נחמדה

פתירוּת

הוכיחו: אם [math]\displaystyle{ N \triangleleft G }[/math] פתירה וגם [math]\displaystyle{ G/N }[/math] פתירה, אז G פתירה.

נניח [math]\displaystyle{ H/H \triangleleft \ldots G_r-1/H\triangleleft G_r/H=G/H }[/math] ו [math]\displaystyle{ 1=H_1 \triangleleft H_2\ldots \triangleleft H }[/math] שמקיימות את תנאי הפתירות

השתמשתי בכך שכל תת חבורה של G\H היא מהצורה שהזכרתי למעלה.

אז נקח את

[math]\displaystyle{ H_1\ldots G_r-1 \triangleleft G_r }[/math]

וזה עובד ממשפט האיזו השלישי

תודה!!

אני בטוח שאני מדבר בשם כולם- רק רציתי להודות לך גילי את מתרגלת מעולה-העברת לנו המון חומר בצורה ברורה ואין ספק שעזרת לנו מאוד! באמת תודה רבה ושנה טובה לכולם

וואו, ממש תודה :-) איך היה המבחן? גילי 17:15, 14 בספטמבר 2012 (IDT)

לא היה קשה מדיי, כמו שאמרת לנו שאם נעבור טוב על הרצאות, תרגולים ושיעורי בית נהיה מוכנים

לדעתי היה טיפה טכני מדי לא היו שאלות יותר מדי מגניבות אבל אכן היה קל

אינדקס, נורמליות

תהי G חבורה, [math]\displaystyle{ H \leq G }[/math] מאינדקס [math]\displaystyle{ n }[/math]. הוכיחו שיש [math]\displaystyle{ N \leq H ,\; N\triangleleft G }[/math] מאינדקס [math]\displaystyle{ n!\geq }[/math].

שאלה נחמדה

G פועלת על H באמצעות הזזות ולכן [math]\displaystyle{ G/F\cong T }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ F }[/math] זה קבוצת כל האיברים שפועלים טריוויאלית על כל הקוסטים וT תת חבורה של [math]\displaystyle{ S_n }[/math] וקיבלנו את המבוקש. כמובן המשפט שהשתמשתי בו נובע מההסתכלות על [math]\displaystyle{ f_g: x\mapsto gx }[/math] כתמורה ואז זה נובע מהפונקציה [math]\displaystyle{ g \mapsto f_g }[/math]

כמובן [math]\displaystyle{ F\leq H }[/math] כי F פועלת טריוויאלית על H

-נעם-

שאלה על חבורת סילו

נניח [math]\displaystyle{ U,W\subseteq P\leq G }[/math] עם [math]\displaystyle{ P }[/math] חבורת P סילו ועם [math]\displaystyle{ P\leq N(U)\cap N(W) }[/math] הוכח שהתנאים הבאים שקולים:

א) [math]\displaystyle{ U,W }[/math] צמודים ב [math]\displaystyle{ G }[/math]

ב)[math]\displaystyle{ U,W }[/math] צמודים ב[math]\displaystyle{ N(P) }[/math]

למה בדיוק הכוונה בכך ש-P מנרמלת את הקבוצות, ובכך שהקבוצות צמודות זו לזו? בכל אופן, הנה פתרון לגרסה שבה מדובר בשני אברים.

טענה. יהיו a,b שני אברים במרכז של חבורת p-סילו P, שהם צמודים בחבורה G. אז הם צמודים גם במנרמל [math]\displaystyle{ \ N_G(P) }[/math].

הוכחה. לפי ההנחה יש [math]\displaystyle{ \ g \in G }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \ b = gag^{-1} }[/math]. נתבונן במרכז [math]\displaystyle{ \ H = C_G(a) }[/math]. לפי ההנחה כל אברי P מתחלפים עם a, ולכן [math]\displaystyle{ \ P\subseteq H }[/math]. מאותה סיבה גם [math]\displaystyle{ \ P \subset C_G(b) = C_G(gag^{-1}) = gC_G(a)g^{-1} }[/math], ועל-ידי הצמדה מקבלים [math]\displaystyle{ \ g^{-1}Pg \subseteq H }[/math]. קיבלנו שתי תת-חבורות p-סילו של H, שהן צמודות שם לפי המשפט; כלומר, קיים [math]\displaystyle{ \ h \in H }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \ g^{-1}Pg = h^{-1}Ph }[/math]. מכאן ש-[math]\displaystyle{ \ gh^{-1} \in N_G(P) }[/math], אבל מכיוון ש-[math]\displaystyle{ \ h^{-1}ah=a }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \ (gh^{-1})a(gh^{-1})^{-1} = gag^{-1} = b }[/math], כדרוש. עוזי ו. 22:22, 2 באוקטובר 2012 (IST)