שיחה:89-214 תשעג סמסטר א: הבדלים בין גרסאות בדף
| שורה 2: | שורה 2: | ||
מדובר בתת-חבורה של <math>S_4</math> התמורות הזוגיות. | מדובר בתת-חבורה של <math>S_4</math> התמורות הזוגיות. | ||
בקורס בליאנרית, למדתם שהחלפת עמודות של מטריצה מחליפה את הסימן של הדטרמיננטה שלה. יש לנו התאמה בין תמורות למטריצות באופן הבא: עבור תמורה <math>\sigma</math> ניקח מתטריצה | בקורס בליאנרית, למדתם שהחלפת עמודות של מטריצה מחליפה את הסימן של הדטרמיננטה שלה. יש לנו התאמה בין תמורות למטריצות באופן הבא: עבור תמורה <math>\sigma</math> ניקח מתטריצה שהעמודה ה-i שלה היא <math>e_{\sigma(i)}</math>, כאשר <math>e_{\sigma(i)}</math> הוא וקטור שרכיב ה-<math>\sigma(i)</math> שלו הוא 1 והשאר אפסים. על ידי חישוב פשוט ניתן להשתכנע שזה שיכון (הומומורפיזם חח"ע) של <math>S_n</math> לתוך חבורת המטריצות ההפיכות, <math>GL_n</math>. ניתן לראות שדטרמיננטה של כל מטריצה כזו היא <math>\pm1</math> מכיוון שהיא מתקבלת על ידי יחלפת עמודות של | ||
מטריצת היחידה. אוסף כל המטריצות כאלה עם דטרמיננטה 1 היא <math>A_n</math>. | מטריצת היחידה. אוסף כל המטריצות כאלה עם דטרמיננטה 1 היא <math>A_n</math>. | ||
גרסה מ־20:34, 16 בדצמבר 2012
מה זה [math]\displaystyle{ A_4 }[/math]?
מדובר בתת-חבורה של [math]\displaystyle{ S_4 }[/math] התמורות הזוגיות.
בקורס בליאנרית, למדתם שהחלפת עמודות של מטריצה מחליפה את הסימן של הדטרמיננטה שלה. יש לנו התאמה בין תמורות למטריצות באופן הבא: עבור תמורה [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ניקח מתטריצה שהעמודה ה-i שלה היא [math]\displaystyle{ e_{\sigma(i)} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ e_{\sigma(i)} }[/math] הוא וקטור שרכיב ה-[math]\displaystyle{ \sigma(i) }[/math] שלו הוא 1 והשאר אפסים. על ידי חישוב פשוט ניתן להשתכנע שזה שיכון (הומומורפיזם חח"ע) של [math]\displaystyle{ S_n }[/math] לתוך חבורת המטריצות ההפיכות, [math]\displaystyle{ GL_n }[/math]. ניתן לראות שדטרמיננטה של כל מטריצה כזו היא [math]\displaystyle{ \pm1 }[/math] מכיוון שהיא מתקבלת על ידי יחלפת עמודות של מטריצת היחידה. אוסף כל המטריצות כאלה עם דטרמיננטה 1 היא [math]\displaystyle{ A_n }[/math].
מה זה אומר בפועל? כל מטריצה כזו מתקבלת על ידי החלפת עמודות מספר זוגי של פעמים, שזה בעצם אומר שהתמורה מתקבלת כמכפלה של חילופים מאורך זוגי.
לדוגמה: מחזור באורך 3 מתקבל כמפלה של 2 חילופים, [math]\displaystyle{ (ab)(bc)=(abc) }[/math] לכן זוגי. תמורה שמבנה המחזורים שלה הוא 2 חילופים זרים, היא גם זוגית. מחזור באורך 4 אינו זוגי. [math]\displaystyle{ (ab)(bc)(cd)=(abcd) }[/math]