מערך תרגול 6: הבדלים בין גרסאות בדף
| שורה 1: | שורה 1: | ||
== דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות == | == דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות == | ||
'''הגדרה:''' לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו <math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math>. | '''הגדרה:''' לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו <math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math>. | ||
'''משפט:''' <math>Z(G)</math> הוא תת-חבורה נורמלית של <math>G</math>. | |||
'''תרגיל:''' הוכח G אבלית <math>G/Z(G) \Leftrightarrow</math> ציקלית. | |||
'''פתרון''' <math>\Leftarrow</math> ברור. | |||
<math>\Rightarrow</math>. נניח ש <math>G/Z(G)</math> ציקלית. אזי, קיים <math>a \in G</math> כך ש <math>Z/Z(G)=<aZ(G)> </math>. | |||
קוסטים מהווים חלוקה של <math>G</math> לכן מתקיים <math>G=\cap_{n\in\mathbb{Z} }a^{n}Z(G)</math>. יהיו <math>g,h\in G</math>. אזי קיימים <math>k,m</math> כך ש <math>g\in a^{k}Z(G), h\in a^{m}Z(G)</math>. כלמר, <math>g=a^{k}z_1,h=z^{m}z_2,z_1,z_2\in Z(G)</math>. | |||
אזי מתקיים: <math>gh=a^{k}z_1a^{m}z_2=a^{m+k}z_1z_2=a^{m}a^{k}z_2z_1=a^{m}z_2a^{k}z_1=hg</math>. | |||
גרסה מ־21:10, 16 בדצמבר 2012
דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות
הגדרה: לכל חבורה [math]\displaystyle{ G }[/math] מגדירים את המרכז שלה, [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math] כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו [math]\displaystyle{ Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \} }[/math].
משפט: [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math] הוא תת-חבורה נורמלית של [math]\displaystyle{ G }[/math].
תרגיל: הוכח G אבלית [math]\displaystyle{ G/Z(G) \Leftrightarrow }[/math] ציקלית. פתרון [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] ברור.
[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]. נניח ש [math]\displaystyle{ G/Z(G) }[/math] ציקלית. אזי, קיים [math]\displaystyle{ a \in G }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ Z/Z(G)=\lt aZ(G)\gt }[/math]. קוסטים מהווים חלוקה של [math]\displaystyle{ G }[/math] לכן מתקיים [math]\displaystyle{ G=\cap_{n\in\mathbb{Z} }a^{n}Z(G) }[/math]. יהיו [math]\displaystyle{ g,h\in G }[/math]. אזי קיימים [math]\displaystyle{ k,m }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ g\in a^{k}Z(G), h\in a^{m}Z(G) }[/math]. כלמר, [math]\displaystyle{ g=a^{k}z_1,h=z^{m}z_2,z_1,z_2\in Z(G) }[/math].
אזי מתקיים: [math]\displaystyle{ gh=a^{k}z_1a^{m}z_2=a^{m+k}z_1z_2=a^{m}a^{k}z_2z_1=a^{m}z_2a^{k}z_1=hg }[/math].