הבדלים בין גרסאות בדף "היטל"
(←1) |
(←1) |
||
שורה 23: | שורה 23: | ||
א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו <math>\{u_1,...,u_k\}</math> לתת המרחב U | א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו <math>\{u_1,...,u_k\}</math> לתת המרחב U | ||
− | <math>\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i, | + | <math>\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j,\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j>\Big)=</math> |
+ | |||
+ | <math>=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k<<v_i,u_j>,<v_i,u_j>>\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n<<u_j,v_i>,<u_j,v_i>>\Big)=</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(||\pi_V(u_j)||^2\Big)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | אבל <math>\pi_V(u_j)=u_j</math> וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k. | ||
===2=== | ===2=== |
גרסה מ־08:54, 25 בדצמבר 2012
הגדרה
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו W תת מרחב של V ו וקטור. ההגדרות הבאות למושג היטל v על המרחב W שקולות:
א. יהי בסיס אורתוגונלי לתת המרחב W, אזי ההיטל הינו (התוצאה לא תלוייה בבחירת הבסיס)
ב. ההיטל הוא הוקטור המקיים
תרגילים
0
הוכח כי בהגדרה הראשונה להיטל, בחירת הבסיס אינה משנה (כלומר ההיטל נשאר זהה לכל בחירת בסיס).
1
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל ממימד n ויהי תת מרחב ממימד k
א. הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי למרחב V מתקיים
ב. יהי בסיס כלשהו למרחב V ותהי מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:
פתרון:
א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו לתת המרחב U
אבל וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k.
2
יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו תתי מרחבים כך ש
א. הוכיחו כי לכל
ב. נגדיר אופרטור ע"י .
הוכיחו כי לכל שני וקטורים מתקיים