שינויים
היטל
,/* 1 */
<math>=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k<<v_i,u_j>,<v_i,u_j>>\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n<<u_j,v_i>,<u_j,v_i>>\Big)=</math>
<math>=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(||\pi_V(u_j)||^2\Big)</math>
אבל <math>\pi_V(u_j)=u_j</math> וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k.
ב.
ראשית, נפעיל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת לקבל בסיס אורתוגונלי <math>W=\{w_1,...,w_n\}</math>, כלומר נשתמש בנוסחאת הנסיגה:
::<math>w_1=s_1</math>
::<math>w_i=s_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{<s_i,w_j>}{<w_j,w_j>}w_j</math>
לכן קל לראות כי מטריצת המעבר בין הבסיסים <math>[I]^W_S</math> הינה מטריצה משולשית עליונה עם אחדות על האלכסון ולכן <math>|[I]^W_S|=1</math>
לפי נוסחאת המעבר בין מטריצות גראם אנו מקבלים כי
::<math>G_S=\Big([I]^W_S\Big)^tG_W\overline{[I]^W_S}</math>
ולכן
::<math>|G_S|=|G_W|</math>
אבל W בסיס אורתוגונלי ולכן <math>|G_W|=||w_1||^2\cdots ||w_n||^2</math>
ולכן כל שנותר להראות הוא כי <math>||w_i||\leq ||s_i||</math>
אכן, כפי שראינו בתרגיל קודם, אם מחסירים מוקטור היטלים שלו על תתי מרחבים, הנורמה קטנה.
===2===
