הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב ניצב"
מתוך Math-Wiki
(←1) |
(←1) |
||
שורה 39: | שורה 39: | ||
לכן סה"כ <math>V^\perp=\{0\}</math> | לכן סה"כ <math>V^\perp=\{0\}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ג. | ||
+ | |||
+ | נניח <math>w\in S_2^\perp</math> לכן לכל <math>s\in S_2</math> מתקיים <math><s,w>=0</math>. | ||
+ | |||
+ | לכן בפרט, לכל <math>s\in S_1</math> מתקיים <math>s\in S_2</math> ולכן <math><s,w>=0</math> ולכן <math>w\in S_1^\perp</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ד. | ||
+ | |||
+ | כיוון ש <math>S\subseteq span(S)</math>, לפי סעיף קודם ברור כי <math>span(S)^\perp \subseteq S^\perp</math>. | ||
+ | |||
+ | כעת, אם <math>w\in S^\perp</math> אזי לכל צירוף לינארי <math>a_1s_1+...+a_kS_k\in span(S)</math> מתקיים | ||
+ | |||
+ | ::<math><a_1s_1+...+a_kS_k,w>=a_1<s_1,w>+...+a_k<s_k,w>=0</math> | ||
+ | |||
+ | כלומר <math>w\in span(S)^\perp</math> ולכן גם <math>span(S)^\perp \supseteq S^\perp</math> | ||
===2=== | ===2=== |
גרסה מ־12:12, 25 בדצמבר 2012
הגדרה
יהי מרחב מכפלה פנימית V ותהי קבוצת וקטורים . אזי הקבוצה
הינה מרחב וקטורי. אנו קוראים ל המרחב הניצב ל-S
תרגילים
משפט הפירוק הניצב
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי תת מרחב הוכיחו כי
1
יהי V מרחב מכפלה פנימית. הוכח את הטענות הבאות:
א.
ב.
ג. אם אזי
ד. לכל קבוצה מתקיים
פתרון:
א.
ב.
אם כך, נניח , כיוון מתקיים ביחד ולפי אי שליליות
לכן סה"כ
ג.
נניח לכן לכל מתקיים .
לכן בפרט, לכל מתקיים ולכן ולכן
ד.
כיוון ש , לפי סעיף קודם ברור כי .
כעת, אם אזי לכל צירוף לינארי מתקיים
כלומר ולכן גם
2
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו תתי מרחבים. הוכיחו/הפריכו:
א.
ב.
ג.
3
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו תתי מרחבים כך ש . הוכיחו/הפריכו