הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב ניצב"
(←2) |
(←משפט הפירוק הניצב) |
||
שורה 12: | שורה 12: | ||
===משפט הפירוק הניצב=== | ===משפט הפירוק הניצב=== | ||
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב הוכיחו כי <math>U\oplus U^\perp = V</math> | יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב הוכיחו כי <math>U\oplus U^\perp = V</math> | ||
+ | |||
+ | ===0=== | ||
+ | יהי V מרחב מכפלה פנימית, ותהי <math>S\subseteq V</math>. '''הוכח/הפרך:''' <math>(S^\perp)^\perp=S</math> | ||
===1=== | ===1=== |
גרסה אחרונה מ־16:21, 25 בדצמבר 2012
הגדרה
יהי מרחב מכפלה פנימית V ותהי קבוצת וקטורים . אזי הקבוצה
הינה מרחב וקטורי. אנו קוראים ל המרחב הניצב ל-S
תרגילים
משפט הפירוק הניצב
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי תת מרחב הוכיחו כי
0
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ותהי . הוכח/הפרך:
1
יהי V מרחב מכפלה פנימית. הוכח את הטענות הבאות:
א.
ב.
ג. אם אזי
ד. לכל קבוצה מתקיים
פתרון:
א.
ב.
אם כך, נניח , כיוון מתקיים ביחד ולפי אי שליליות
לכן סה"כ
ג.
נניח לכן לכל מתקיים .
לכן בפרט, לכל מתקיים ולכן ולכן
ד.
כיוון ש , לפי סעיף קודם ברור כי .
כעת, אם אזי לכל צירוף לינארי מתקיים
כלומר ולכן גם
2
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו תתי מרחבים. הוכיחו/הפריכו:
א.
ב.
ג.
פתרון:
א. הפרכה:
ב. הוכחה:
נניח .
יהי לכן:
כיוון ש וגם
ולכן
נניח .
יהי לכן בפרט ולכן
לכן ובאופן דומה
סה"כ
ג. הפרכה:
3
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו תתי מרחבים כך ש . הוכיחו/הפריכו
הפרכה: