שינויים
/* משפט הפירוק הניצב */
===משפט הפירוק הניצב===
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב הוכיחו כי <math>U\oplus U^\perp = V</math>
===0===
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ותהי <math>S\subseteq V</math>. '''הוכח/הפרך:''' <math>(S^\perp)^\perp=S</math>
===1===
ג. <math>(U+W)^\perp=(U\cap W)^\perp</math>
'''פתרון:'''
א. '''הפרכה''':
<math>U=\{0\},W=V</math>
ב. '''הוכחה''':
<math>\supseteq</math>
נניח <math>v\in U^\perp\cap W^\perp</math>.
יהי <math>u+w\in U+W</math> לכן:
::<math><v,u+w>=<v,u>+<v,w>=0</math>
כיוון ש <math>v\in U^\perp</math> וגם <math>v\in W^\perp</math>
ולכן <math>v\in (U+W)^\perp</math>
<math>\subseteq</math>
נניח <math>v\in (U+W)^\perp</math>.
יהי <math>u\in U</math> לכן בפרט <math>u\in U+W</math> ולכן <math><v,u>=0</math>
לכן <math>v\in U^\perp</math> ובאופן דומה <math>v\in W^\perp</math>
סה"כ <math>v\in U^\perp\cap W^\perp</math>
ג. '''הפרכה''':
<math>U=\{0\},W=V</math>
===3===
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>U\oplus W = V</math>. '''הוכיחו/הפריכו''' <math>U^\perp = W</math>
'''הפרכה:'''
<math>U=span\{(1,0)\}, W = span\{(1,1)\}</math>
