שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

תרגיל 1

רשום בהודעות שתרגיל 1 קוצר אך יורד לי בדיוק אותו קובץ שירד לי קודם (עם 7 שאלות)? איל דימנט 23:25, 24 באוקטובר 2012 (IST)

>זו הודעה של בדידה שהופיעה בטעות פה. תוקן. עדי

רמז לשאלה 5,תרגיל 1

[math]\displaystyle{ z^n=(rcis(\theta))^n=r^ncis(n \theta)=1 }[/math] החלק המדומה בצד ימין הוא אפס. מתי החלק המדומה בצד שמאל הוא אפס? כתוצאה מכך מהי הזוית/זויות ומיהו r? ועל כן, היכן יושבים מרוכבים אלו על המישור? עדי

סילבוס

שלום, אשמח אם תעלו סילבוס של הקורס. כרגע הסילבוס הוא של "בדידה" משום מה. תודה.

>>תוקן. עדי

תרגיל 1 שאלה 6

שלום! האם אפשר לקבל הכוונה לשאלה 6? ניסיתי להציב אבל אני לא רואה איך אפשר עוד להתקדם בפתרון.... תודה מראש!

>> השאלה מה הצבת, את [math]\displaystyle{ z }[/math] או את הצמוד שלו? רצוי להתחיל ממה שידוע, כלומר, שהצבת [math]\displaystyle{ z }[/math] היא פיתרון. אז העזר בתכונות ההצמדה שהוכחנו בכיתה כדי לעבור להופעה של [math]\displaystyle{ \bar z }[/math] במשוואה זו במקום. עדי

תרגיל בית 2 שאלה 2.3 סעיף ד

שלום! כשאומרים ש 0F=1Z3 מתכוונים לאיבר הראשון בZ3 או לאיבר 1 בZ3? תודה מראש!

>>לאיבר 1 ב[math]\displaystyle{ Z_3 }[/math]. עדי

שאלה 4ב בתרגיל 3

יש לי שאלות של אסור ומותר לגבי הוכחות, שעלו בעקבות שאלה מספר 4ב בתרגיל מספר 3. ראשית אני חושב שמותר לי להניח שהקבוצה מוכלת בתוך השדה, אחרת אין מה לדבר על תת שדה. שנית, אני רוצה להוכיח כי הקבוצה שווה לשדה הנתון. הגעתי לכך שהראיתי שאם קיים איבר בשדה שהוא לא בקבוצה, אז הסכום של 1 והאיבר "לפניו" (או קומבינציה מסויימת של אברי הקבוצה) הם בעצם אותו איבר שלא נמצא בקבוצה. לכן הקבוצה לא סגורה תחת חיבור ולכן לא יכולה להיות שדה. אני יכול לטעון זאת? מותר לי? או שבשאלה הספציפית הזאת הדרך לפתור היא רק דרך הנחה בשלילה או הוכחת הקריטריון המקוצר?

>>ראשית, ודאי ש F שדה, זה נתון. שנית, הוכח פורמלית לפי הקריטריון המקוצר. עדי

תרגיל מס' 2 שאלה לא מהחוברת

בסעיף א' איזה משוואה צריך לבנות?

>> [math]\displaystyle{ \forall (a,b),(c,d),(e,f)\in C\ \ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f) }[/math] עם החיבור והכפל המוגדרים בשאלה. עדי

תרגול 2 שאלה לא מהחוברת...

שלום! :) לא הבנתי בדיוק את המשמעות של RxR... אשמח להסבר!

>> [math]\displaystyle{ A\times B }[/math] הוא אוסף כל הזוגות הסדורים כך שה"קואורדינטה" הראשונה מגיעה מ-A והשניה מ-B: [math]\displaystyle{ A\times B=\{(a,b):a\in A, b\in B\} }[/math]. במקרה זה [math]\displaystyle{ R\times R }[/math] הוא אוסף כל הזוגות הסדורים מעל הממשיים (כלומר המישור הממשי). היות ומספר מרוכב מוגדר ע"י זוג סדור של מספרים ממשיים (האחד מייצג את הרכיב הממשי והשני את הרכיב המדומה) ניתן להתייחס ל-[math]\displaystyle{ R\times R }[/math] כקב' שקולה ל-[math]\displaystyle{ C }[/math], ממנו מגיעות הפעוללות המוגדרות בשאלה. עדי

תרגיל 2

לגבי שאלה 4.4 סעיף א' מהחוברת לא הבנתי איך זה עוזר לי אם אוכיח ש n*1f)*(m*1f)=(nm)*1f) יפית, אמרת שארשום את זה בפורום ותסבירי לכולנו. תודה.

>>בהנחה שהוכחתם טענת עזר זאת, הניחו בשלילה ש-k הוא מאפיין השדה ואיננו ראשוני. הישתמשו בטענת העזר ובעובדה שאין בשדה מחלקי אפס על מנת להראות ש 1+...+1 יתאפס כבר בראשוניים שמחלקים את k בסתירה למינימליותו. עדי

תרגיל 3 שאלה 4

הגדרנו תת שדה H של שדה F כך ש H צריכה קודם כל להיות תת קבוצה של F ואז לקיים את הקריטריון. בשאלה יש p איברים ל F ואז מוכיחים שיש לקבוצה המועמדת להיות תת שדה גם p איברים. אבל אם יש לקבוצה הזו p איברים שונים והיא גם תת קבוצה של F שגם היא בעלת p איברים שונים, לא ניתן להסיק בעצם שהיא שווה ל F?

>>כן, אבל איך זה רלוונטי לשאלה? בסעיף לא ידוע שב-H יש p אייברים, לכאורה H בנויה באופן אינסופי, מהות המבוקש להוכיח הוא כי למעשה לאחר p אייברים אין אייברים "חדשים". עדי

נכון, מבקשים להוכיח שבH יש p איברים ואכן הוכחתי זאת כפי שאמרת. לכן אם היא צריכה להיות תת קבוצה של F שגם לה p איברים שונים אז היא בהכרח שווה ל F לא? אם כן, כל הבדיקה של תת שדה מיותרת... כי אם H=F אז H כבר שדה.

>> ראשית, הורדתי את הפיתרון שרשמת... שנית, מי אמר שב F יש p איברים? הוא ממאפיין p. שדה מגודל 4 למשל הוא ממאפיין 2. עדי

ראשית, הגעתי לכך מאותה הסיבה שב Z5 יש 5 איברים וב Z7 יש 7 איברים ו H היא לא אינסופית כמו שנרשם. שנינו מסכימים על כך שב F יש לא פחות מ p איברים. אבל אם יהיו יותר, כמו בדוגמה שהבאת, אז בדיוק כמו ב H ניתן לרשום אותם כמו שרשמתי בהודעה הקודמת, כלומר לא מוסיפים איברים חדשים. גם אם ניקח את הקבוצה {0,1,2,3,4,5,6,8,9} בעלת 9 איברים מעל z7, היא שדה (הוכחתי זאת). אבל עדיין 8 ב z7 זה 1 ו 9 בz7 זה2. לכן כתיבתם מיותרת כי זה כמו לכתוב את הקבוצה {1} בצורה {1,1,1,1,1,1} ועדיין אומרים שיש איבר אחד בקבוצה ולא 6 איברים.

שנית, אם הייתי מסתכל בפתרונות, הייתי פשוט מעתיק ושותק. לא הייתי נכנס לדיונים ומביך את עצמי בפומבי.

>> אתה ממש לא מביך את עצמך! השאלה היא לגיטימית מאוד וזו טעות נפוצה. זו הסיבה שכ"כ חשוב לי שכולם יראו את ההערה באדום, לוודא שכולם נמנעים ממנה. אני מודה לך על השאלה! הלוואי והיו יותר.

לא הבנתי את הרלוונטיות של "מעתיק ושותק" לדיון.

בכל מקרה,

1. לא אמרתי ש-H אינסופית, אמרתי שהיא בנויה באופן אינסופי, היא כל האייברים מהצורה [math]\displaystyle{ 1,1+1,1+1+1,... }[/math] כשמשמעות ה-3 נקודות היא וכן הלאה, נראה שהם מתלכדים לכדיי p אייברים. כמו [math]\displaystyle{ \{1\}=\{1,1,1\}=\{1,1,1,...\} }[/math], כשהכוונה בקבוצה האחרונה היא קבוצה של אינסוף אחדים, אך ניתן להוכיח שהיא סופית מגודל 1. היא לא אינסופית, אבל היא בנויה באופן אינסופי.

2.הנקודה לגבי שאלתך המקורית היא שב-F לא פחות מ-p אייברים שונים, ללא חזרות. למשל בדוגמא שהעלתי למטה, ניתן לבנות תת שדה של 0 ו-1 עבור השדה מגודל 4. כלומר: F מגודל 4 וממאפיין 2. H נבנת כמו בשאלה, ע"י 1 של F, והיא גם ממאפיין 2 וגם מגודל 2.

עדי

1. התכוונתי שאם הייתי מעתיק את הפתרון, לא הייתי מנסה להפליל את עצמי ע"י שאלת שאלות, פשוט הייתי מעתיק וזהו. 2. אני לא מצליח להבין כיצד הדוגמה שהבאת שונה מהדוגמה שהבאתי על 9 איברים ב Z7. גם זה שדה של 9 איברים אבל המאפיין הוא 7. וגם כאן 8 שונה מ 1 ו9 שונה מ 2 (הם שווים רק מעל Z7), בדיוק כמו a ו b בדוגמה שהבאת. אבל עדיין מה שעשית הוא לקחת איבר מ Z7 ולרשום אותו בצורה אחרת, לא הוספתי שום איבר חדש (ואני גם לא יכול, כי מן הסתם הוא ירשם בצורה כלשהי ע"י אברי Z7). ההיגיון שלי יכול אולי לקבל את ההשערה שזה עובד לא ב Zp, אבל כרגע ב Zp אני לא מצליח לשכנע את עצמי שזה אכן כך.

>> 1. שוב, אני לא מבינה למה אתה מתכוון ב"להפליל את עצמך". לזה נועד הפורום, אני מעודדת שאילת שאלות והשאיפה שהדיון יעודד עוד אנשים לשאול. אני מתנצלת אם באיזושהי צורה התשובה שלי התפרשה אחרת.

לגבי העתקה, אני חושבת שברורה לכולנו חוסר התועלת של כך, למי שבוחר לעשות כן.

2. בדוגמא שהבאת 9 אייברים, אם אתה מסתכל עליה כמו שהיא, ואז היא איננה מוכלת בZ7. אם אתה מסתכל על איבריה מודולו 7 (זו לא ממש אותה קבוצה, זו קבוצת מנה של היח"ש מודולו 7) אז יש בה 7 אייברים, 1 לא שונה מ8 ו2 לא שונה מ9. דוגמא בZn לא תמצא כי Zn הוא שדה רק כאשר ה-n ראשוני. אין זה נכון במקרה הכללי לגבי גודל הקבוצה, אלא רק לגבי מאפיינה.

טוב, עכשיו הבנתי למה חשבת שאני חשבתי שהעתקת. כי רשמתי שהורדתי את הפיתרון. לא התכוונתי שהעתקת ועכשיו הסרתי אותו, התכוונתי שהורדתי את הפיתרון שרשמת בתשובה שלך. בתגובה המקורית שלך ל-להוכיח שב-H יש p איברים רשמת פיתרון מלא לאיך הראית את זה, אז הורדתי אותו. לא חשבתי בשום שלב שהעתקת

עדי

חשוב מאוד! הבדילו בין גודלו של שדה למאפיינו

הוכחנו שהמאפיין בהכרח ראשוני, אולם שדה יכול להיות מגודל שאינו ראשוני.

מצ"ב דוגמא חשובה, שדה מגודל 4 עם מאפיין 2(מוכרח להיות). עיינו בה וודאו שאתם מבינים אותה היטב.

דוגמא חשובה F|=4, char(F)=2|

עדי

כתוב בדף ש"שדה יכול להיות מכל גודל"; אני מניח שהכוונה היא להדגיש שגודל השדה אינו חייב להיות שווה למאפיין - יש כמובן מגבלות אחרות. עוזי ו. 23:11, 21 בנובמבר 2012 (IST)

תוקן. תודה

תרגיל 3 שאלה 4

לא כל-כך ברור לי הקונספט של הוכחה בהקשר שמופיע בשאלה.

בסעיף א.- מעצם ההגדרה, לשדה סופי יש מאפיין חיובי, ושדה בעל מאפיין חיובי הוא בהכרח סופי. האם הדרך להוכיח זאת היא ליצור פעולה של חיבור איברי יחידה במספר הולך וגדל (כמו הקבוצה בסעיף ב) ולהראות שקיים n כלשהו כך שמחיבור n איברי יחידה בהכרח נקבל 0 (שזוהי הגדרת מאפיין)?

בסעיף ב.- לכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp. למיטב הבנתי יוצא מזה, לפי הגדרת תת-שדה, שהפעולות של שדה סופי זהות לפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים. מתוך זה נובע כי כל תת-שדה של שדה סופי הוא בעל פעולות זהות לאלו של ZcharF.

מה הכוונה בלהראות שאלו הן הפעולות של תת-השדה?

אגב, יש משפט לגבי יחידות של שדה? כלומר, האם שני שדות, שיש להם את אותם איברי היחידה והאפס, אותן פעולות החיבור והכפל, ואותו הגודל, הם בהכרח אותו השדה?

>> סעיף א-

זו הגדרת מאפיין של שדה: המאפיין (או המציין) של שדה הוא המספר הטבעי n הקטן ביותר כך ש- [math]\displaystyle{ 1_F+1_F+... }[/math] n פעמים הוא אפס של השדה. אם n אינסופי נאמר שהמאפיין אפס. כך שהמאפיין תמיד אי שלילי ושלם.

לגבי ההוכחה, אכן יש להראות שקיים n שכזה, אך החשיבות היא להראות שהוא סופי.

סעיף ב-

זה לא נכון שלכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp, כי Zp איננו מוכל בכל שדה.

עבור שדה ממאפיין p תת שדה מגודל p יתנהג כמו Zp, כלומר, טבלאות הפעולה שלו יהיו זהות.

לא נכון לומר שהפעולות זהות, אלא שטבלאות הפעולה זהות, כלומר חיבור וכפל בין האיבר ה-i לאיבר ה-j (לא בהכרח המספרים i ו-j) ילכו לאיבר ה-k וה- h בהתאמה (כלומר k לחיבור, ו-h לכפל), בשני השדות.

אין זה נכון שטבלת הפעולות של שדה סופי זהה לטבלת הפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים היות וגודל השדה יכול להיות גדול מהמאפיין שלו, כפי שניתן לראות בדוגמא למעלה. זה לא יכול לקרות ב-Zn שם הקבוצה היא שדה רק כאשר גודלה ראשוני, ולכן שווה למאפיינה.

אם גודל השדה=מאפיין השדה, ולכן ראשוני, אז הוא מתנהג כמו ZcharF.

לגבי ההערה האחרונה: במקרה הסופי כן, במקרה האינסופי לא, לדוגמא R ו-C. אבל הנקודה בחלק השני של סעיף ב' היא לא שיוויון בין השדות או הפעולות אלא התנהגות זהה של הפעולות.

עדי

המשך להערה החשובה

שימו לב שתת השדה בסעיף ב' של שאלה 4 בתרגיל 3 בנוי להיות בעל מספר טיבעי של אייברים וכולם מהצורה [math]\displaystyle{ 1_F+1_F+... }[/math]. לא כל שדה הוא מגודל טיבעי, בניגוד למאפיין. למשל R עם החיבור והכפל המוכרים לנו. המשמעות היא שלא בהכרח כל איבר בשדה הוא מהצורה [math]\displaystyle{ 1_F+1_F+... }[/math], הוא כן בהכרח מהצורה [math]\displaystyle{ 1_F\cdot a }[/math] עבור a מהשדה, לדוגמא [math]\displaystyle{ 1.5 }[/math] ב-R.

למעשה, רק charF אייברים בשדה יהיו מהצורה [math]\displaystyle{ 1_F+1_F+... }[/math], וכפי שכבר הבנו, יתכן שבשדה יותר מ-charF אייברים.

עדי

תרגיל 4 תרגיל נוסף לא מהחוברת

שלום! איך בדיוק מתארים אלגוריתם? תיארתי לעצמי במילים את השלבים של הדירוג, איך בדיוק אני אמורה לתרגם את זה לכתיבה מתמטית..? תודהה:)

>> תאור (תקין) במילים הוא בסדר גמור. את יכולה להוסיף דיאגרמה של המטריצה להסבר, ע"מ להימנע מאי הבנות או כפל משמעות. עדי

זהות בין מטריצות

האם בכדי להוכיח ששתי מטריצות שוות, מספיק להראות כי הן מאותו הסדר וכי נוסחת האיבר הכללי (נגיד: aij, כש-i אינדקס שורה, j אינדקס עמודה) שלהן זהה?

>>כן, סדר ושיוויון רכיב-רכיב. עדי

בוחן

שלום! מה בדיוק החומר לבוחן..? ואיך כדאי ללמוד? תודה!:)

>> עד מרחבים וקטורים, לא כולל. כדאי לפתור את כל התרגילים מההרצאה, תירגולים ושעורי בית. הפורום זמין לשאלות ודיונים. עדי

תרגילים 2 ו-3

נבדקו והוחזרו כבר?

שאלה 4.2 מתרגיל 5

אבל גם בכלל. לעתים תכופות קורה, דווקא בשאלות הטריוויאליות יותר, שלא ברור לי אילו היסקים "מותר" לעשות ואילו לא.

הדוגמא הרלוונטית לעכשיו:

הגדרתי: A=(aij) B=(bij) ולכן: A+B=(aij+bij) השאלה היא כזאת: האם כשאני משחלפת את A+B מותר לי לומר: (A+B)טרנספוז= (aji+bji( או שזוהי הנחת המבוקש?

ובאופן כללי יותר, קיימים קווים מנחים להוכחה ריגורוזית?

תודה מראש

>> ההוכחה אכן קצרה באופן מעט מרתיע, לכן עלינו להקפיד על פורמליות. אם [math]\displaystyle{ \ C=A+B=(c_{ij}),\ C^t=(d_{ij})\ }[/math] תאמרו מצד אחד מיהו [math]\displaystyle{ c_{ij} }[/math] בהסתמך על הסכום, מצד שני מיהו [math]\displaystyle{ d_{ij} }[/math] בהסתמך על הגדרת שיחלוף ורק בסוף תקשרו ביניהם.

לגבי השאלה הכללית: ההיתר (ובמובן זה גם ההגבלה) בהוכחה היא להסתמך על מה שהוכח עד נקודה זו ובלבד ש-

1. זו איננה מהות כל המבוקש להוכיח (לפעמים תתבקשו למשל להוכיח טענות שהוכחתם בכיתה)

2. שלא השתמשתם בהוכחה בטענה שהוכחתה מסתמכת על מה שאתם מנסים להוכיח כעת (כלומר, לא ליצור מעגליות בהוכחה, להסתמך על ב כדי להוכיח א כאשר השתמשתם ב-א כדי להוכיח את ב). עדי

כפל מטריצות משוחלפות

אם מוגדרות: [math]\displaystyle{ A=(aij) , B=(bij) }[/math], ועשינו טרנספוז ל-A: [math]\displaystyle{ A^t=(aji) }[/math]

אז המכפלה: [math]\displaystyle{ C=A^tB }[/math]

יוצרת איזו מבין נוסחאות האיבר הכללי:

[math]\displaystyle{ cij=sum_{l}^{n}ailblj }[/math]

או [math]\displaystyle{ cij=sum_{l}^{n}aliblj }[/math] ?

הראשונה "שולחת" אותנו ל-[math]\displaystyle{ A^t }[/math], אבל "מאבדת" את הקשר עם [math]\displaystyle{ A }[/math] (נראה לי). השניה "שולחת" אותנו ישירות ל-[math]\displaystyle{ A }[/math] (אבל המכפלה היא על [math]\displaystyle{ A^t }[/math] ).

>> ראשית תוודא שהמכפלה הנ"ל מוגדרת. במידה וכן [math]\displaystyle{ A^t=(d_{ij}) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ d_{ij}=a_{ji}\ \forall j,i }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ c_{ij}=\Sigma_{l=1}^{n}d_{il}b_{lj}=\Sigma_{l=1}^{n}a_{li}b_{lj} }[/math]

ולכן המשוואה השניה היא הנכונה. המשוואה הראשונה מגדירה איבר כללי בAB (שוב, במידה ומכפלה זו מוגדרת). עדי

תודה רבה, עדי (:

חומר לבוחן

כל החומר עד מרחבים וקטוריים, לא כולל. תרגיל 6 לא נכלל בשאלות, אבל לא יכול להזיק לפתור לקראת הבוחן שאלות מהחוברת עד עמ' 19 כולל.

מיקום הבוחן

היכן מתקיים הבוחן לקבוצה של יפית?

תרגיל בית מספר 7

בשאלה 2 שלא מהחוברת, במקומות של השדה מופיעים ריבועים ריקים.

>>לא אצל כולם משום מה. בכל מקרה זה C.

אוקי תודה רבה. האם ניתן להעלות את התרגילים כקבצי pdf?

תרגיל 7 שאלה 4.8

האם יש קשר בין סעיף א ל-ב? כלומר, האם הדרישה היא למצוא "נוסחא כללית" ל-Ui ו-Vi כך שעבור i=1 מתקיים א ועבור i=2 מתקיים ב?

או שצריך למצוא U,V שמקיימים את א, ובלי קשר למצוא U,V אחרים שמקיימים את ב?

>> לא, אין קשר. Ui,Vi לא צריכים להיות תלויים ב-i באופן של-1 קורה א ול-2 קורה ב. צריך דוגמא עבור א ודוגמא (תלויה או לא תלויה בה) עבור ב. עדי

בוחן [math]\displaystyle{ II }[/math]

ב-7 לינואר, 18:00-19:00 יתקיים בקורס בוחן (השני מתוך שניים) על מרחבים וקטוריים, תתי מרחבים, תלות-לינארית, בסיס, מימד ודרגה של מטריצה, בפרט גם: מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס [math]\displaystyle{ (A\in M_{mxn}(F),\ Null(A)=\{v\in F^n:Av=0\}) }[/math]. יש ללמוד את כל החומר מההרצאות.

הבוחן יתקיים בבניין:604, כיתה:62 . יפית ועדי

תרגיל 10 שאלה 11.12

אנחנו עובדות תחת ההנחה ש-A היא מסדר nxn? זה מצוין בתרגיל הקודם, אבל לא בנוכחי, ונדמה לי שללא ההנחה הזאת הטענות אינן שקולות.

>>כן

כותרת

איך מוכיחים שאם ההעתקה לינארית אזי ההעתקה מה-0 מ"ו של התחום הולך ל-0 מ"ו של הטווח?

>> תהי [math]\displaystyle{ T:V-\gt W }[/math] אם [math]\displaystyle{ V\ne \{0\} }[/math] אז [math]\displaystyle{ \exist 0\ne v\in V }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ T(0_V)T(v+(-v))=T(v)+T(-v)=T(v)-T(v)=0_W }[/math].

אם V הוא מרחב האפס ו-W לא (אם כן אז אפס יכול ללכת רק לאפס) ונניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ T(0_V)=w\in W:w\ne 0_W }[/math] אז [math]\displaystyle{ 0_W=w+(-w)=T(0_V)+(-w) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ T(o_V)=-w }[/math], כלומר w=-w, אחרת למקור שתי תמונות.

כתוצאה מכך, אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין שונה מ-2 אז [math]\displaystyle{ w=0_W }[/math], אם W שדה ממאפיין 2 אז [math]\displaystyle{ T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V)=2w=0_W }[/math], מה שלא יכול לקרות כי [math]\displaystyle{ w\ne 0_W }[/math] ומקור לא יכול להישלח לשתי תמונות. עדי