משתמש:איתמר שטיין: הבדלים בין גרסאות בדף
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (החלפת הדף בתוכן "*הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>") |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
*[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]] | *[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]] | ||
1) ב) | |||
ידוע כי | |||
<math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)>0</math> | |||
נניח ש | |||
<math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)=c>0</math> | |||
נסמן <math>b_n=a_n\cdot n</math> | |||
כלומר | |||
<math>\liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>0</math> | |||
טענת עזר: קיים <math>N</math> כך שאם <math>n>N</math> אז <math>b_n>\frac{c}{2}</math> | |||
(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב <math>b_n</math> שיותר קטנים מ <math>\frac{c}{2}</math>) | |||
הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ <math>b_n</math> שעבורם <math>b_n\leq \frac{c}{2}</math> | |||
אז קיימת תת סדרה <math>b_{n_k}</math> כך ש <math>b_{n_k}\leq \frac{c}{2}</math> לכל <math>k\in \mathbb{N}</math> | |||
נשים לב ש <math>b_n</math> היא חסומה מלרע ולכן <math>b_{n_k}</math> חסומה גם מלעיל וגם מלרע. | |||
לכן ל <math>b_{n_k}</math> יש תת סדרה מתכנסת <math>b_{n_{k_l}}</math> כך ש | |||
<math>\lim_{l\rightarrow\infty}b_{n_{k_l}}\leq \frac {c}{2}</math> | |||
וזאת בסתירה לכך ש <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>\frac{c}{2}</math> | |||
זה מוכיח את טענת העזר. | |||
כעת, אנחנו יודעים שהחל מ <math>N\in \mathbb{N}</math> כלשהוא מתקיים | |||
<math>b_n>\frac{c}{2}</math> | |||
אבל בגלל ש <math>b_n=a_n\cdot n</math> זה אומר שהחל מאותו <math>N\in \mathbb{N}</math> מתקיים | |||
<math>a_n > \frac{c}{2} \frac{1}{n}</math> | |||
בגלל שהטור | |||
<math>\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> | |||
מתבדר | |||
נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור <math>\ \sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר. | |||
גרסה מ־10:45, 27 בינואר 2013
1) ב)
ידוע כי [math]\displaystyle{ \liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)\gt 0 }[/math]
נניח ש
[math]\displaystyle{ \liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)=c\gt 0 }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ b_n=a_n\cdot n }[/math]
כלומר
[math]\displaystyle{ \liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c\gt 0 }[/math]
טענת עזר: קיים [math]\displaystyle{ N }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] אז [math]\displaystyle{ b_n\gt \frac{c}{2} }[/math]
(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב [math]\displaystyle{ b_n }[/math] שיותר קטנים מ [math]\displaystyle{ \frac{c}{2} }[/math])
הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ [math]\displaystyle{ b_n }[/math] שעבורם [math]\displaystyle{ b_n\leq \frac{c}{2} }[/math]
אז קיימת תת סדרה [math]\displaystyle{ b_{n_k} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ b_{n_k}\leq \frac{c}{2} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\in \mathbb{N} }[/math]
נשים לב ש [math]\displaystyle{ b_n }[/math] היא חסומה מלרע ולכן [math]\displaystyle{ b_{n_k} }[/math] חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
לכן ל [math]\displaystyle{ b_{n_k} }[/math] יש תת סדרה מתכנסת [math]\displaystyle{ b_{n_{k_l}} }[/math] כך ש
[math]\displaystyle{ \lim_{l\rightarrow\infty}b_{n_{k_l}}\leq \frac {c}{2} }[/math]
וזאת בסתירה לכך ש [math]\displaystyle{ \liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c\gt \frac{c}{2} }[/math]
זה מוכיח את טענת העזר.
כעת, אנחנו יודעים שהחל מ [math]\displaystyle{ N\in \mathbb{N} }[/math] כלשהוא מתקיים
[math]\displaystyle{ b_n\gt \frac{c}{2} }[/math]
אבל בגלל ש [math]\displaystyle{ b_n=a_n\cdot n }[/math] זה אומר שהחל מאותו [math]\displaystyle{ N\in \mathbb{N} }[/math] מתקיים
[math]\displaystyle{ a_n \gt \frac{c}{2} \frac{1}{n} }[/math]
בגלל שהטור [math]\displaystyle{ \ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} }[/math] מתבדר
נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור [math]\displaystyle{ \ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתבדר.