משתמש:איתמר שטיין

• הסבר על חישוב הופכי ב [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math]

שאלה 1

סעיף ב

ידוע כי [math]\displaystyle{ \liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)\gt 0 }[/math]

נניח ש

[math]\displaystyle{ \liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)=c\gt 0 }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ b_n=a_n\cdot n }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ \liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c\gt 0 }[/math]

טענת עזר: קיים [math]\displaystyle{ N }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] אז [math]\displaystyle{ b_n\gt \frac{c}{2} }[/math]

(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב [math]\displaystyle{ b_n }[/math] שיותר קטנים מ [math]\displaystyle{ \frac{c}{2} }[/math])

הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ [math]\displaystyle{ b_n }[/math] שעבורם [math]\displaystyle{ b_n\leq \frac{c}{2} }[/math]

אז קיימת תת סדרה [math]\displaystyle{ b_{n_k} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ b_{n_k}\leq \frac{c}{2} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\in \mathbb{N} }[/math]

נשים לב ש [math]\displaystyle{ b_n }[/math] היא חסומה מלרע ולכן [math]\displaystyle{ b_{n_k} }[/math] חסומה גם מלעיל וגם מלרע.

לכן ל [math]\displaystyle{ b_{n_k} }[/math] יש תת סדרה מתכנסת [math]\displaystyle{ b_{n_{k_l}} }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ \lim_{l\rightarrow\infty}b_{n_{k_l}}\leq \frac {c}{2} }[/math]

וזאת בסתירה לכך ש [math]\displaystyle{ \liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c\gt \frac{c}{2} }[/math]

זה מוכיח את טענת העזר.

כעת, אנחנו יודעים שהחל מ [math]\displaystyle{ N\in \mathbb{N} }[/math] כלשהוא מתקיים

[math]\displaystyle{ b_n\gt \frac{c}{2} }[/math]

אבל בגלל ש [math]\displaystyle{ b_n=a_n\cdot n }[/math] זה אומר שהחל מאותו [math]\displaystyle{ N\in \mathbb{N} }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ a_n \gt \frac{c}{2} \frac{1}{n} }[/math]

בגלל שהטור [math]\displaystyle{ \ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} }[/math] מתבדר

נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור [math]\displaystyle{ \ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתבדר.

שאלה 2

סעיף א

טענת עזר: אם [math]\displaystyle{ A,B }[/math] קבוצות חסומות מלעיל אז

[math]\displaystyle{ \sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B) }[/math]

הוכחה: נוכיח שהמספר [math]\displaystyle{ \sup(A)+\sup(B) }[/math] מקיים את התכונות של [math]\displaystyle{ \sup(A+B) }[/math]

• תכונה א': חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A+B }[/math]. הוכחה:

אם [math]\displaystyle{ x\in A+B }[/math] אז ניתן לכתוב [math]\displaystyle{ x=a+b }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a\in A, b\in B }[/math].

היות ו [math]\displaystyle{ a\leq \sup(A) }[/math] ו [math]\displaystyle{ b\leq \sup(B) }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ x=a+b\leq \sup(A)+\sup(B) }[/math]

• תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:

יהי [math]\displaystyle{ y }[/math] איזשהוא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A+B }[/math]

נניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ y\lt \sup(A)+\sup(B) }[/math]

אז נקבל ש [math]\displaystyle{ y-\sup(B)\lt \sup(A) }[/math]

ולכן קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ y-\sup(B)\lt a }[/math]

מכאן נקבל [math]\displaystyle{ y-a\lt \sup(B) }[/math]

ולכן קיים [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ y-a\lt b }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ y\lt a+b\in A+B }[/math]

בסתירה לכך ש [math]\displaystyle{ y }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A+B }[/math]

לכן בהכרח מתקיים [math]\displaystyle{ \sup(A)+\sup(B)\leq y }[/math]

לסיכום: הוכחנו שהמספר [math]\displaystyle{ \sup(A)+\sup(B) }[/math] מקיים את שתי התכונות של חסם עליון

ולכן [math]\displaystyle{ \sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B) }[/math]. מש"ל טענת עזר.

עכשיו קל להוכיח את הדרוש:

[math]\displaystyle{ \sup(A+B+C)=\sup(A+B)+\sup(C)=\sup(A)+\sup(B)+\sup(C) }[/math]

מש"ל.

סעיף ב

הפרכה פשוטה, ניקח [math]\displaystyle{ a_n=-\frac{1}{n} }[/math] ו [math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n} }[/math]

מתקיים שלכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] [math]\displaystyle{ a_n\lt b_n }[/math] (ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math]).

אבל

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=0 }[/math]

שתי הערות: א) כמעט לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] פירושו: לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] פרט למספר סופי של מקרים.

אן לחילופין: קיים [math]\displaystyle{ N\in \mathbb{N} }[/math] כך שהטענה מתקיימת לכל [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math].

ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה

אם [math]\displaystyle{ a_n\leq b_n }[/math] ו

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a,\quad \lim_{n\rightarrow \infty}b_n=b }[/math]

אז

[math]\displaystyle{ a\leq b }[/math].