הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←שאלה 1) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף א) |
||
שורה 65: | שורה 65: | ||
הוכחה: נוכיח שהמספר <math>\sup(A)+\sup(B)</math> מקיים את התכונות של <math>\sup(A+B)</math> | הוכחה: נוכיח שהמספר <math>\sup(A)+\sup(B)</math> מקיים את התכונות של <math>\sup(A+B)</math> | ||
+ | |||
+ | * תכונה א': חסם מלעיל של <math>A+B</math>. הוכחה: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | אם <math>x\in A+B</math> אז ניתן לכתוב <math>x=a+b</math> כאשר <math>a\in A, b\in B</math>. | ||
+ | |||
+ | היות ו <math>a\leq \sup(A)</math> ו <math>b\leq \sup(B)</math> מתקיים | ||
+ | |||
+ | <math>x=a+b\leq \sup(A)+\sup(B)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | * תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה: | ||
+ | |||
+ | יהי <math>y</math> איזשהוא חסם מלעיל של <math>A+B</math> | ||
+ | |||
+ | נניח בשלילה ש <math>y<\sup(A)+\sup(B)</math> | ||
+ | |||
+ | אז נקבל ש <math>y-\sup(B)<\sup(A)</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>y-\sup(B)<a</math> | ||
+ | |||
+ | מכאן נקבל <math>y-a<\sup(B)</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן קיים <math>b\in B</math> כך ש <math>y-a<b</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן <math>y<a+b\in A+B</math> | ||
+ | |||
+ | בסתירה לכך ש <math>y</math> חסם מלעיל של <math>A+B</math> | ||
+ | |||
+ | לכן בהכרח מתקיים <math>\sup(A)+\sup(B)\leq y</math> | ||
+ | |||
+ | לסיכום: הוכחנו שהמספר <math>\sup(A)+\sup(B)</math> מקיים את שתי התכונות של חסם עליון | ||
+ | |||
+ | ולכן <math>\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)</math>. מש"ל טענת עזר. | ||
+ | |||
+ | עכשיו קל להוכיח את הדרוש: | ||
+ | |||
+ | <math>\sup(A+B+C)=\sup(A+B)+\sup(C)=\sup(A)+\sup(B)+\sup(C)</math> | ||
+ | |||
+ | מש"ל. | ||
+ | |||
+ | ===סעיף ב=== | ||
+ | |||
+ | הפרכה פשוטה, ניקח <math>a_n=-\frac{1}{n}</math> ו <math>b_n=\frac{1}{n}</math> | ||
+ | |||
+ | מתקיים שלכל <math>n\in \mathbb{N}</math> | ||
+ | <math>a_n<b_n</math> | ||
+ | (ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל <math>n\in \mathbb{N}</math>). | ||
+ | |||
+ | אבל | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | שתי הערות: | ||
+ | א) כמעט לכל <math>n</math> פירושו: לכל <math>n</math> פרט למספר סופי של מקרים. | ||
+ | |||
+ | אן לחילופין: קיים <math>N\in \mathbb{N}</math> כך שהטענה מתקיימת לכל <math>n>N</math>. | ||
+ | |||
+ | ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה | ||
+ | |||
+ | אם <math>a_n\leq b_n</math> ו | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a,\quad \lim_{n\rightarrow \infty}b_n=b</math> | ||
+ | |||
+ | אז | ||
+ | |||
+ | <math>a\leq b</math>. |
גרסה מ־11:44, 28 בינואר 2013
תוכן עניינים
שאלה 1
סעיף ב
ידוע כי
נניח ש
נסמן
כלומר
טענת עזר: קיים כך שאם אז
(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב שיותר קטנים מ )
הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ שעבורם
אז קיימת תת סדרה כך ש לכל
נשים לב ש היא חסומה מלרע ולכן חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
לכן ל יש תת סדרה מתכנסת כך ש
וזאת בסתירה לכך ש
זה מוכיח את טענת העזר.
כעת, אנחנו יודעים שהחל מ כלשהוא מתקיים
אבל בגלל ש זה אומר שהחל מאותו מתקיים
בגלל שהטור מתבדר
נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור מתבדר.
שאלה 2
סעיף א
טענת עזר: אם קבוצות חסומות מלעיל אז
הוכחה: נוכיח שהמספר מקיים את התכונות של
- תכונה א': חסם מלעיל של . הוכחה:
אם אז ניתן לכתוב כאשר .
היות ו ו מתקיים
- תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:
יהי איזשהוא חסם מלעיל של
נניח בשלילה ש
אז נקבל ש
ולכן קיים כך ש
מכאן נקבל
ולכן קיים כך ש
ולכן
בסתירה לכך ש חסם מלעיל של
לכן בהכרח מתקיים
לסיכום: הוכחנו שהמספר מקיים את שתי התכונות של חסם עליון
ולכן . מש"ל טענת עזר.
עכשיו קל להוכיח את הדרוש:
מש"ל.
סעיף ב
הפרכה פשוטה, ניקח ו
מתקיים שלכל (ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל ).
אבל
שתי הערות:
א) כמעט לכל פירושו: לכל פרט למספר סופי של מקרים.
אן לחילופין: קיים כך שהטענה מתקיימת לכל .
ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה
אם ו
אז
.