משתמש:איתמר שטיין: הבדלים בין גרסאות בדף
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף א) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←שאלה 1) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
*[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]] | *[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]] | ||
==שאלה 2== | ==שאלה 2== |
גרסה מ־11:56, 28 בינואר 2013
שאלה 2
סעיף א
טענת עזר: אם [math]\displaystyle{ A,B }[/math] קבוצות חסומות מלעיל אז
[math]\displaystyle{ \sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B) }[/math]
הוכחה: נוכיח שהמספר [math]\displaystyle{ \sup(A)+\sup(B) }[/math] מקיים את התכונות של [math]\displaystyle{ \sup(A+B) }[/math]
- תכונה א': חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A+B }[/math]. הוכחה:
אם [math]\displaystyle{ x\in A+B }[/math] אז ניתן לכתוב [math]\displaystyle{ x=a+b }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a\in A, b\in B }[/math].
היות ו [math]\displaystyle{ a\leq \sup(A) }[/math] ו [math]\displaystyle{ b\leq \sup(B) }[/math] מתקיים
[math]\displaystyle{ x=a+b\leq \sup(A)+\sup(B) }[/math]
- תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:
יהי [math]\displaystyle{ y }[/math] איזשהוא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A+B }[/math]
נניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ y\lt \sup(A)+\sup(B) }[/math]
אז נקבל ש [math]\displaystyle{ y-\sup(B)\lt \sup(A) }[/math]
ולכן קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ y-\sup(B)\lt a }[/math]
מכאן נקבל [math]\displaystyle{ y-a\lt \sup(B) }[/math]
ולכן קיים [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ y-a\lt b }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ y\lt a+b\in A+B }[/math]
בסתירה לכך ש [math]\displaystyle{ y }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A+B }[/math]
לכן בהכרח מתקיים [math]\displaystyle{ \sup(A)+\sup(B)\leq y }[/math]
לסיכום: הוכחנו שהמספר [math]\displaystyle{ \sup(A)+\sup(B) }[/math] מקיים את שתי התכונות של חסם עליון
ולכן [math]\displaystyle{ \sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B) }[/math]. מש"ל טענת עזר.
עכשיו קל להוכיח את הדרוש:
[math]\displaystyle{ \sup(A+B+C)=\sup(A+B)+\sup(C)=\sup(A)+\sup(B)+\sup(C) }[/math]
מש"ל.
סעיף ב
הפרכה פשוטה, ניקח [math]\displaystyle{ a_n=-\frac{1}{n} }[/math] ו [math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n} }[/math]
מתקיים שלכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] [math]\displaystyle{ a_n\lt b_n }[/math] (ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math]).
אבל
[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=0 }[/math]
שתי הערות:
א) כמעט לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] פירושו: לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] פרט למספר סופי של מקרים.
אן לחילופין: קיים [math]\displaystyle{ N\in \mathbb{N} }[/math] כך שהטענה מתקיימת לכל [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math].
ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה
אם [math]\displaystyle{ a_n\leq b_n }[/math] ו
[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a,\quad \lim_{n\rightarrow \infty}b_n=b }[/math]
אז
[math]\displaystyle{ a\leq b }[/math].