הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"
מתוך Math-Wiki
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←שאלה 2) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
*[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]] | *[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==שאלה 3== | ||
+ | |||
+ | ===סעיף א=== | ||
+ | |||
+ | <math>a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נשים לב שבסכום זה יש <math>n</math> מחוברים. כאשר מספר המחוברים תלוי ב <math>n</math> אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות. | ||
+ | |||
+ | במקרה הזה נשתמש במשפט הסנדויץ. | ||
+ | |||
+ | נגדיר: | ||
+ | |||
+ | <math>b_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}</math> | ||
+ | |||
+ | בגלל ש <math>n^2+1<n^2+i</math> (כאשר <math>1\leq i\leq n</math>) | ||
+ | |||
+ | ברור ש | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{1}{\sqrt{n^2+i}}\leq \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} </math> | ||
+ | |||
+ | ולכן <math>a_n\leq b_n</math> | ||
+ | |||
+ | בצורה דומה נגדיר | ||
+ | |||
+ | <math>c_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}</math> | ||
+ | |||
+ | ויתקיים | ||
+ | |||
+ | <math>c_n\leq a_n</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{n\rightarrow \infty} b_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}} | ||
+ | =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1 | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | ו | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>\lim_{n\rightarrow \infty} c_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} | ||
+ | =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1 | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | לכן לפי כלל הסנדויץ | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=1</math> |
גרסה מ־14:36, 28 בינואר 2013
שאלה 3
סעיף א
נשים לב שבסכום זה יש מחוברים. כאשר מספר המחוברים תלוי ב אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות.
במקרה הזה נשתמש במשפט הסנדויץ.
נגדיר:
בגלל ש (כאשר )
ברור ש
ולכן
בצורה דומה נגדיר
ויתקיים
ו
לכן לפי כלל הסנדויץ