שינויים
/* סעיף ב */
===סעיף ב===
*חלק א':
נשים לב שהטור
<math>\sum_{n=2}^{\infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{n(n-1)}</math>
הוא טור חיובי ולכן הוא מתכנס בהחלט אם ורק אם הוא מתכנס
נשתמש במבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים:
נביט על הסדרה:
<math>\sqrt[n]{{(\frac{n-1}{n+1})}^{n(n-1)}}={(\frac{n-1}{n+1})}^{(n-1)}</math>
נחשב את הגבול
<math>\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{(n-1)}=\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{n+1}
\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{-2}
=\lim_{n\rightarrow \infty}{(1-\frac{2}{n+1})}^{n+1} \lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n+1}{n-1})}^2
=e^{-2} \lim_{n\rightarrow \infty}{(1+\frac{2}{n-1})}^2
=e^{-2}
<1
</math>
(שימו לב ש
<math>\lim_{n\rightarrow \infty}{(1+\frac{x}{a_n})}^{a_n}=e^x</math> כאשר
<math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\infty</math>
)
ולכן לפי מבחן קושי הטור מתכנס
*חלק ב
<math>\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{{(\ln n)}^{\ln n}}</math>
זהו לא טור חיובי, ראשית נבדוק התכנסות בהחלט, כלומר נבדוק אם הטור
<math>\sum_{n=2}^{\infty}\frac{|\sin(nx)|}{{(\ln n)}^{\ln n}}</math>
מתכנס.
אנחנו נראה שהוא מתכנס.
ראשית, נשים לב ש
<math>|\sin(nx)|\leq 1</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה לטורים חיוביים, מספיק להראות שהטור
<math>\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{{(\ln n)}^{\ln n}}</math>
מתכנס.
היות ויש כאן הרבה <math>\ln</math>, אנו נרצה לנסות את מבחן העיבוי.
הסדרה <math>\frac{1}{{(\ln n)}^{\ln n}}</math>
היא מונוטונית, חיובית ושואפת ל <math>0</math>, ולכן ניתן להשתמש במבחן העיבוי.
נקבל שהטור
<math>\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{{(\ln n)}^{\ln n}}</math>
מתכנס אם ורק אם הטור
<math>\sum_{n=2}^{\infty}2^n\frac{1}{{(\ln {2^n})}^{\ln {2^n}}}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2^n}{{(n \ln 2)}^{n \ln 2}}</math>
זה טור חיובי, נבדוק את התכנסותו באמצעות מבחן קושי
נחשב את גבול הסדרה
<math>\sqrt[n]{\frac{2^n}{{(n \ln 2)}^{n \ln 2}}}</math>
ונקבל:
<math>\lim_{n\rightarrow \infty} {\frac{2}{{(n \ln 2)}^{ \ln 2}}}=0<1</math>
ולכן לפי מבחן קושי הטור מתכנס.
לפי כל השיקולים שהצגנו הטור המקורי מתכנס בהחלט ולכן בוודאי שהוא מתכנס.
