הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/פתרון מועד א - גרסת שנפס"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
||
שורה 337: | שורה 337: | ||
לפי כל השיקולים שהצגנו הטור המקורי מתכנס בהחלט ולכן בוודאי שהוא מתכנס. | לפי כל השיקולים שהצגנו הטור המקורי מתכנס בהחלט ולכן בוודאי שהוא מתכנס. | ||
+ | |||
+ | ==שאלה 5== | ||
+ | ===סעיף א=== | ||
+ | נחשב את גבול הפונקציה בקצות הקטע: | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{x\rightarrow 1} x \sin (\frac{1}{x})+\frac{\sin x}{x}=1\sin 1 + \sin 1 = 2\sin 1</math> | ||
+ | |||
+ | היות והפונקציה רציפה ב <math>x=1</math> בוודאי שיש לה שם גבול. | ||
+ | |||
+ | כמו כן: | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{x\rightarrow 0} x \sin (\frac{1}{x})=0</math> | ||
+ | |||
+ | כי <math>\lim_{x\rightarrow 0} x =0</math> ו <math>\sin (\frac{1}{x})</math> היא פונקציה חסומה. | ||
+ | |||
+ | ו | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן לפונקציה קיים גבול גם ב <math>x=0</math>. | ||
+ | |||
+ | זאת פונקציה רציפה ב <math>(0,1)</math> שהגבולות שלה בקצות הקטע קיימים ולכן היא רציפה במידה שווה על הקטע <math>(0,1)</math>. | ||
+ | |||
+ | ===סעיף ב=== |
גרסה מ־19:40, 31 בינואר 2013
תוכן עניינים
שאלה 1
סעיף ב
ידוע כי
נניח ש
נסמן
כלומר
טענת עזר: קיים כך שאם אז
(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב שיותר קטנים מ )
הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ שעבורם
אז קיימת תת סדרה כך ש לכל
נשים לב ש היא חסומה מלרע ולכן חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
לכן ל יש תת סדרה מתכנסת כך ש
וזאת בסתירה לכך ש
זה מוכיח את טענת העזר.
כעת, אנחנו יודעים שהחל מ כלשהוא מתקיים
אבל בגלל ש זה אומר שהחל מאותו מתקיים
בגלל שהטור מתבדר
נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור מתבדר.
שאלה 2
סעיף א
טענת עזר: אם קבוצות חסומות מלעיל אז
הוכחה: נוכיח שהמספר מקיים את התכונות של
- תכונה א': חסם מלעיל של . הוכחה:
אם אז ניתן לכתוב כאשר .
היות ו ו מתקיים
- תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:
יהי איזשהוא חסם מלעיל של
נניח בשלילה ש
אז נקבל ש
ולכן קיים כך ש
מכאן נקבל
ולכן קיים כך ש
ולכן
בסתירה לכך ש חסם מלעיל של
לכן בהכרח מתקיים
לסיכום: הוכחנו שהמספר מקיים את שתי התכונות של חסם עליון
ולכן . מש"ל טענת עזר.
עכשיו קל להוכיח את הדרוש:
מש"ל.
סעיף ב
הפרכה פשוטה, ניקח ו
מתקיים שלכל (ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל ).
אבל
שתי הערות:
א) כמעט לכל פירושו: לכל פרט למספר סופי של מקרים.
אן לחילופין: קיים כך שהטענה מתקיימת לכל .
ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה
אם ו
אז
.
שאלה 3
סעיף א
נשים לב שבסכום זה יש מחוברים. כאשר מספר המחוברים תלוי ב אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות.
במקרה הזה נשתמש במשפט הסנדויץ.
נגדיר:
בגלל ש (כאשר )
ברור ש
ולכן
בצורה דומה נגדיר
ויתקיים
ו
לכן לפי כלל הסנדויץ
סעיף ב
כאשר ו .
נשים לב ש
ולכן
- טענה: לכל מתקיים
הוכחה: באינדוקציה, ידוע כבר כי אבל אם בהכרח יתקיים
כי ו .
- טענה: עבור מתקיים .
כלומר הסדרה יורדת אם .
הוכחה: אם אז ולכן
(נשים לב שכאן משתמשים בכך ש )
קיבלנו שהחל מ כלשהוא, הסדרה היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע.
בגלל שמספר סופי של איברים לא משנה את גבול הסדרה, נקבל ש מתכנסת (כי החל מנקודה מסוימת היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע).
נותר רק למצוא את גבולה.
נניח ש
וברור ש
ולכן מתקיים
לכן הגבול הוא .
שאלה 4
סעיף א
ראשית נשים לב שמשפט לייבניץ לא עובד כאן. כי לייבניץ דורש (בין השאר) ש היא סדרה מונוטונית יורדת.
את הטענה ניתן להפריך.
נבחר
אזי בוודאי מתקיים
אבל
שהוא טור מתבדר.
סעיף ב
- חלק א':
נשים לב שהטור
הוא טור חיובי ולכן הוא מתכנס בהחלט אם ורק אם הוא מתכנס
נשתמש במבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים:
נביט על הסדרה:
נחשב את הגבול
(שימו לב ש
כאשר )
ולכן לפי מבחן קושי הטור מתכנס
- חלק ב
זהו לא טור חיובי, ראשית נבדוק התכנסות בהחלט, כלומר נבדוק אם הטור
מתכנס.
אנחנו נראה שהוא מתכנס.
ראשית, נשים לב ש
ולכן לפי מבחן ההשוואה לטורים חיוביים, מספיק להראות שהטור
מתכנס.
היות ויש כאן הרבה , אנו נרצה לנסות את מבחן העיבוי.
הסדרה
היא מונוטונית, חיובית ושואפת ל , ולכן ניתן להשתמש במבחן העיבוי.
נקבל שהטור
מתכנס אם ורק אם הטור
זה טור חיובי, נבדוק את התכנסותו באמצעות מבחן קושי
נחשב את גבול הסדרה
ונקבל:
ולכן לפי מבחן קושי הטור מתכנס.
לפי כל השיקולים שהצגנו הטור המקורי מתכנס בהחלט ולכן בוודאי שהוא מתכנס.
שאלה 5
סעיף א
נחשב את גבול הפונקציה בקצות הקטע:
היות והפונקציה רציפה ב בוודאי שיש לה שם גבול.
כמו כן:
כי ו היא פונקציה חסומה.
ו
ולכן לפונקציה קיים גבול גם ב .
זאת פונקציה רציפה ב שהגבולות שלה בקצות הקטע קיימים ולכן היא רציפה במידה שווה על הקטע .