הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"
מתוך Math-Wiki
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←שאלה 5) |
||
שורה 2: | שורה 2: | ||
− | == | + | ===סעיף ב=== |
+ | נשים לב ש | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)</math> | ||
+ | |||
+ | זה ממוצע של הערכים | ||
+ | |||
+ | <math>f(x_1),\ldots , f(x_n)</math> | ||
+ | |||
+ | מבין הערכים האלה חייב להיות מינימום ומקסימום. | ||
+ | |||
+ | כלומר קיימים <math>i_0,i_1</math> עבורם | ||
+ | |||
+ | <math>f(x_{i_0})=\min\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\},\quad f(x_{i_1})=\max\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\}</math> | ||
+ | |||
+ | ואז נקבל | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_1}) = f(x_{i_1})</math> | ||
+ | |||
+ | ובאופן דומה | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_0}) = f(x_{i_0})</math> | ||
+ | |||
+ | נניח בלי הגבלת כלליות ש | ||
+ | <math>x_{i_0}<x_{i_1}</math> | ||
+ | |||
+ | ראינו שהערך | ||
+ | <math>\sum_{i=1}^n f(x_i)</math> | ||
+ | |||
+ | נמצא בין <math>f(x_{i_0})</math> ל <math>f(x_{i_1})</math> | ||
+ | |||
+ | וברור ש <math>f</math> | ||
+ | רציפה על | ||
+ | <math>[x_{i_0},x_{i_1}]</math> | ||
+ | |||
+ | לכן לפי משפט ערך הביניים קיים | ||
+ | |||
+ | <math>c\in (x_{i_0},x_{i_2})\subseteq (a,b)</math> | ||
+ | |||
+ | כך ש: | ||
+ | |||
+ | <math>f(c)=\sum_{i=1}^n f(x_i)</math> | ||
+ | |||
+ | וזה מראה את מה שנדרש |
גרסה מ־06:38, 1 בפברואר 2013
סעיף ב
נשים לב ש
זה ממוצע של הערכים
מבין הערכים האלה חייב להיות מינימום ומקסימום.
כלומר קיימים עבורם
ואז נקבל
ובאופן דומה
נניח בלי הגבלת כלליות ש
ראינו שהערך
נמצא בין ל
וברור ש רציפה על
לכן לפי משפט ערך הביניים קיים
כך ש:
וזה מראה את מה שנדרש