הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/פתרון מועד א - גרסת שנפס"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
||
שורה 361: | שורה 361: | ||
===סעיף ב=== | ===סעיף ב=== | ||
+ | נשים לב ש | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)</math> | ||
+ | |||
+ | זה ממוצע של הערכים | ||
+ | |||
+ | <math>f(x_1),\ldots , f(x_n)</math> | ||
+ | |||
+ | מבין הערכים האלה חייב להיות מינימום ומקסימום. | ||
+ | |||
+ | כלומר קיימים <math>i_0,i_1</math> עבורם | ||
+ | |||
+ | <math>f(x_{i_0})=\min\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\},\quad f(x_{i_1})=\max\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\}</math> | ||
+ | |||
+ | ואז נקבל | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_1}) = f(x_{i_1})</math> | ||
+ | |||
+ | ובאופן דומה | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_0}) = f(x_{i_0})</math> | ||
+ | |||
+ | נניח בלי הגבלת כלליות ש | ||
+ | <math>x_{i_0}<x_{i_1}</math> | ||
+ | |||
+ | ראינו שהערך | ||
+ | <math>\sum_{i=1}^n f(x_i)</math> | ||
+ | |||
+ | נמצא בין <math>f(x_{i_0})</math> ל <math>f(x_{i_1})</math> | ||
+ | |||
+ | וברור ש <math>f</math> | ||
+ | רציפה על | ||
+ | <math>[x_{i_0},x_{i_1}]</math> | ||
+ | |||
+ | לכן לפי משפט ערך הביניים קיים | ||
+ | |||
+ | <math>c\in (x_{i_0},x_{i_2})\subseteq (a,b)</math> | ||
+ | |||
+ | כך ש: | ||
+ | |||
+ | <math>f(c)=\sum_{i=1}^n f(x_i)</math> | ||
+ | |||
+ | וזה מראה את מה שנדרש |
גרסה מ־06:39, 1 בפברואר 2013
תוכן עניינים
שאלה 1
סעיף ב
ידוע כי
נניח ש
נסמן
כלומר
טענת עזר: קיים כך שאם אז
(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב שיותר קטנים מ )
הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ שעבורם
אז קיימת תת סדרה כך ש לכל
נשים לב ש היא חסומה מלרע ולכן חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
לכן ל יש תת סדרה מתכנסת כך ש
וזאת בסתירה לכך ש
זה מוכיח את טענת העזר.
כעת, אנחנו יודעים שהחל מ כלשהוא מתקיים
אבל בגלל ש זה אומר שהחל מאותו מתקיים
בגלל שהטור מתבדר
נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור מתבדר.
שאלה 2
סעיף א
טענת עזר: אם קבוצות חסומות מלעיל אז
הוכחה: נוכיח שהמספר מקיים את התכונות של
- תכונה א': חסם מלעיל של . הוכחה:
אם אז ניתן לכתוב כאשר .
היות ו ו מתקיים
- תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:
יהי איזשהוא חסם מלעיל של
נניח בשלילה ש
אז נקבל ש
ולכן קיים כך ש
מכאן נקבל
ולכן קיים כך ש
ולכן
בסתירה לכך ש חסם מלעיל של
לכן בהכרח מתקיים
לסיכום: הוכחנו שהמספר מקיים את שתי התכונות של חסם עליון
ולכן . מש"ל טענת עזר.
עכשיו קל להוכיח את הדרוש:
מש"ל.
סעיף ב
הפרכה פשוטה, ניקח ו
מתקיים שלכל (ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל ).
אבל
שתי הערות:
א) כמעט לכל פירושו: לכל פרט למספר סופי של מקרים.
אן לחילופין: קיים כך שהטענה מתקיימת לכל .
ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה
אם ו
אז
.
שאלה 3
סעיף א
נשים לב שבסכום זה יש מחוברים. כאשר מספר המחוברים תלוי ב אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות.
במקרה הזה נשתמש במשפט הסנדויץ.
נגדיר:
בגלל ש (כאשר )
ברור ש
ולכן
בצורה דומה נגדיר
ויתקיים
ו
לכן לפי כלל הסנדויץ
סעיף ב
כאשר ו .
נשים לב ש
ולכן
- טענה: לכל מתקיים
הוכחה: באינדוקציה, ידוע כבר כי אבל אם בהכרח יתקיים
כי ו .
- טענה: עבור מתקיים .
כלומר הסדרה יורדת אם .
הוכחה: אם אז ולכן
(נשים לב שכאן משתמשים בכך ש )
קיבלנו שהחל מ כלשהוא, הסדרה היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע.
בגלל שמספר סופי של איברים לא משנה את גבול הסדרה, נקבל ש מתכנסת (כי החל מנקודה מסוימת היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע).
נותר רק למצוא את גבולה.
נניח ש
וברור ש
ולכן מתקיים
לכן הגבול הוא .
שאלה 4
סעיף א
ראשית נשים לב שמשפט לייבניץ לא עובד כאן. כי לייבניץ דורש (בין השאר) ש היא סדרה מונוטונית יורדת.
את הטענה ניתן להפריך.
נבחר
אזי בוודאי מתקיים
אבל
שהוא טור מתבדר.
סעיף ב
- חלק א':
נשים לב שהטור
הוא טור חיובי ולכן הוא מתכנס בהחלט אם ורק אם הוא מתכנס
נשתמש במבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים:
נביט על הסדרה:
נחשב את הגבול
(שימו לב ש
כאשר )
ולכן לפי מבחן קושי הטור מתכנס
- חלק ב
זהו לא טור חיובי, ראשית נבדוק התכנסות בהחלט, כלומר נבדוק אם הטור
מתכנס.
אנחנו נראה שהוא מתכנס.
ראשית, נשים לב ש
ולכן לפי מבחן ההשוואה לטורים חיוביים, מספיק להראות שהטור
מתכנס.
היות ויש כאן הרבה , אנו נרצה לנסות את מבחן העיבוי.
הסדרה
היא מונוטונית, חיובית ושואפת ל , ולכן ניתן להשתמש במבחן העיבוי.
נקבל שהטור
מתכנס אם ורק אם הטור
זה טור חיובי, נבדוק את התכנסותו באמצעות מבחן קושי
נחשב את גבול הסדרה
ונקבל:
ולכן לפי מבחן קושי הטור מתכנס.
לפי כל השיקולים שהצגנו הטור המקורי מתכנס בהחלט ולכן בוודאי שהוא מתכנס.
שאלה 5
סעיף א
נחשב את גבול הפונקציה בקצות הקטע:
היות והפונקציה רציפה ב בוודאי שיש לה שם גבול.
כמו כן:
כי ו היא פונקציה חסומה.
ו
ולכן לפונקציה קיים גבול גם ב .
זאת פונקציה רציפה ב שהגבולות שלה בקצות הקטע קיימים ולכן היא רציפה במידה שווה על הקטע .
סעיף ב
נשים לב ש
זה ממוצע של הערכים
מבין הערכים האלה חייב להיות מינימום ומקסימום.
כלומר קיימים עבורם
ואז נקבל
ובאופן דומה
נניח בלי הגבלת כלליות ש
ראינו שהערך
נמצא בין ל
וברור ש רציפה על
לכן לפי משפט ערך הביניים קיים
כך ש:
וזה מראה את מה שנדרש