הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) |
||
שורה 29: | שורה 29: | ||
<math>\{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}</math> | <math>\{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}</math> | ||
+ | |||
+ | עכשיו צריך לסווג | ||
+ | |||
+ | מטריצת ההסיאן היא: | ||
+ | |||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 6xy^2-12x^2y^2-6xy^3 & 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 \\ | ||
+ | 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 & 2x^3-2x^4-6x^3y | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | |||
+ | כמובן שהצבה של <math>x=0</math> או <math>y=0</math> לא תקדם אותנו יותר מדי. | ||
+ | |||
+ | אם נציב <math>(\frac{1}{2},\frac{1}{3})</math> נקבל (אם אין לי טעות חישוב): | ||
+ | |||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{9} & \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \\ | ||
+ | \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | -\frac{1}{9} & -\frac{1}{12} \\ | ||
+ | -\frac{1}{12} & -\frac{1}{8} | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | |||
+ | המינור הראשון שלילי והמינור השני חיובי, לכן זו מטריצה שלילית (לחלוטין) ולכן זו נקודת מקסימום. | ||
+ | |||
+ | עכשיו צריך למיין ידנית את שאר הנקודות. | ||
+ | |||
+ | נתחיל בנקודות שעל ציר <math>y</math>. | ||
+ | |||
+ | נביט על נקודה כלשהיא <math>(0,y_0)</math>. | ||
+ | |||
+ | אם נתקדם לאורך הישר <math>y=-x+y_0</math> (שעובר כמובן ב <math>(0,y_0)</math>). | ||
+ | |||
+ | אז | ||
+ | |||
+ | <math>f(x,-x+y_0)=x^3(-x+y_0)^2(1-y_0)</math> | ||
+ | |||
+ | אם <math>y_0>1</math> אז הפונקציה שלנו שלילית כש <math>x>0</math> וחיובית כש <math>x<0</math> | ||
+ | |||
+ | אם <math>y_0<1</math> אז הפונקציה שלנו חיובית כש <math>x>0</math> ושלילית כש <math>x<0</math> | ||
+ | |||
+ | בכל מקרה היא לא תהיה נקודת קיצון. | ||
+ | |||
+ | נותר לבדוק את הנקודה <math>(0,1)</math>. נתקדם לאור הישר <math>y=1</math> ונקבל ש | ||
+ | |||
+ | <math>f(x,1)=</math> |
גרסה מ־19:18, 5 בפברואר 2013
הגרדיאנט הוא:
אם נשווה אותו ל ונקבל:
נקבל שאם או שתי המשוואות מתקיימות.
אם , נקבל שהמשוואות הן:
הפתרון של המערכת הזאת הוא:
ולכן כלל הנקודות הקריטיות הן:
עכשיו צריך לסווג
מטריצת ההסיאן היא:
\begin{bmatrix} 6xy^2-12x^2y^2-6xy^3 & 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 \\ 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 & 2x^3-2x^4-6x^3y \end{bmatrix}
כמובן שהצבה של או לא תקדם אותנו יותר מדי.
אם נציב נקבל (אם אין לי טעות חישוב):
\begin{bmatrix} \frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{9} & \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{9} & -\frac{1}{12} \\ -\frac{1}{12} & -\frac{1}{8} \end{bmatrix}
המינור הראשון שלילי והמינור השני חיובי, לכן זו מטריצה שלילית (לחלוטין) ולכן זו נקודת מקסימום.
עכשיו צריך למיין ידנית את שאר הנקודות.
נתחיל בנקודות שעל ציר .
נביט על נקודה כלשהיא .
אם נתקדם לאורך הישר (שעובר כמובן ב ).
אז
אם אז הפונקציה שלנו שלילית כש וחיובית כש
אם אז הפונקציה שלנו חיובית כש ושלילית כש
בכל מקרה היא לא תהיה נקודת קיצון.
נותר לבדוק את הנקודה . נתקדם לאור הישר ונקבל ש