הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) |
||
שורה 33: | שורה 33: | ||
מטריצת ההסיאן היא: | מטריצת ההסיאן היא: | ||
− | + | <math>\begin{bmatrix} | |
− | \begin{bmatrix} | + | |
6xy^2-12x^2y^2-6xy^3 & 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 \\ | 6xy^2-12x^2y^2-6xy^3 & 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 \\ | ||
6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 & 2x^3-2x^4-6x^3y | 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 & 2x^3-2x^4-6x^3y | ||
− | \end{bmatrix} | + | \end{bmatrix}</math> |
+ | |||
כמובן שהצבה של <math>x=0</math> או <math>y=0</math> לא תקדם אותנו יותר מדי. | כמובן שהצבה של <math>x=0</math> או <math>y=0</math> לא תקדם אותנו יותר מדי. | ||
אם נציב <math>(\frac{1}{2},\frac{1}{3})</math> נקבל (אם אין לי טעות חישוב): | אם נציב <math>(\frac{1}{2},\frac{1}{3})</math> נקבל (אם אין לי טעות חישוב): | ||
− | + | <math>\begin{bmatrix} | |
− | \begin{bmatrix} | + | |
\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{9} & \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \\ | \frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{9} & \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \\ | ||
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4} | \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4} | ||
שורה 51: | שורה 50: | ||
-\frac{1}{9} & -\frac{1}{12} \\ | -\frac{1}{9} & -\frac{1}{12} \\ | ||
-\frac{1}{12} & -\frac{1}{8} | -\frac{1}{12} & -\frac{1}{8} | ||
− | \end{bmatrix} | + | \end{bmatrix}</math> |
+ | |||
המינור הראשון שלילי והמינור השני חיובי, לכן זו מטריצה שלילית (לחלוטין) ולכן זו נקודת מקסימום. | המינור הראשון שלילי והמינור השני חיובי, לכן זו מטריצה שלילית (לחלוטין) ולכן זו נקודת מקסימום. | ||
שורה 73: | שורה 73: | ||
בכל מקרה היא לא תהיה נקודת קיצון. | בכל מקרה היא לא תהיה נקודת קיצון. | ||
− | נותר לבדוק את הנקודה <math>(0,1)</math>. נתקדם | + | נותר לבדוק את הנקודה <math>(0,1)</math>. |
+ | |||
+ | אם נתקדם לאורך הישר <math>y=1</math> נקבל ש | ||
+ | |||
+ | <math>f(x,1)=-x^4</math> ולכן <math>x=0</math> היא מקסימום לאורך הקו הזה. | ||
+ | |||
+ | אבל אם נתקדם לאורך הישר <math>y=-2x+1</math> נקבל ש | ||
+ | |||
+ | <math>f(x,-2x+1)=x^3(-2x+1)^2(x)=x^4(-2x+1)^2</math> נקבל ש <math>x=0</math> היא נקודת מינימום לאורך הקו הזה. | ||
+ | |||
+ | לכן <math>(0,1)</math> היא גם נקודת אוכף. | ||
+ | |||
+ | סיכום ביניים: כל ציר <math>y</math> הוא נקודות אוכף. | ||
− | <math> | + | כעת נעבור לציר <math>x</math>. |
גרסה מ־21:40, 5 בפברואר 2013
הגרדיאנט הוא:
אם נשווה אותו ל ונקבל:
נקבל שאם או שתי המשוואות מתקיימות.
אם , נקבל שהמשוואות הן:
הפתרון של המערכת הזאת הוא:
ולכן כלל הנקודות הקריטיות הן:
עכשיו צריך לסווג
מטריצת ההסיאן היא:
כמובן שהצבה של או לא תקדם אותנו יותר מדי.
אם נציב נקבל (אם אין לי טעות חישוב):
המינור הראשון שלילי והמינור השני חיובי, לכן זו מטריצה שלילית (לחלוטין) ולכן זו נקודת מקסימום.
עכשיו צריך למיין ידנית את שאר הנקודות.
נתחיל בנקודות שעל ציר .
נביט על נקודה כלשהיא .
אם נתקדם לאורך הישר (שעובר כמובן ב ).
אז
אם אז הפונקציה שלנו שלילית כש וחיובית כש
אם אז הפונקציה שלנו חיובית כש ושלילית כש
בכל מקרה היא לא תהיה נקודת קיצון.
נותר לבדוק את הנקודה .
אם נתקדם לאורך הישר נקבל ש
ולכן היא מקסימום לאורך הקו הזה.
אבל אם נתקדם לאורך הישר נקבל ש
נקבל ש היא נקודת מינימום לאורך הקו הזה.
לכן היא גם נקודת אוכף.
סיכום ביניים: כל ציר הוא נקודות אוכף.
כעת נעבור לציר .