משתמש:איתמר שטיין: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
אין תקציר עריכה
(החלפת הדף בתוכן "*הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math> ==שאלה 2==")
שורה 2: שורה 2:




<math>f(x,y)=x^3y^2(1-x-y)=x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3</math>
==שאלה 2==
 
הגרדיאנט הוא:
 
<math>\nabla f = (3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3,2x^3y-2x^4y-3x^3y^2)</math>
 
אם נשווה אותו ל <math>(0,0)</math> ונקבל:
 
<math>3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3 = 0</math>
 
<math>2x^3y-2x^4y-3x^3y^2=0</math>
 
נקבל שאם <math>x=0</math> או <math>y=0</math> שתי המשוואות מתקיימות.
 
אם <math>x\neq 0 ,\quad y\neq 0</math>, נקבל שהמשוואות הן:
 
<math>3-4x-3y=0</math>
 
<math>2-2x-3y=0</math>
 
הפתרון של המערכת הזאת הוא:
 
<math>(\frac{1}{2},\frac{1}{3})</math>
 
ולכן כלל הנקודות הקריטיות הן:
 
<math>\{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}</math>
 
עכשיו צריך לסווג
 
מטריצת ההסיאן היא:
<math>\begin{bmatrix}
6xy^2-12x^2y^2-6xy^3 & 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 \\
6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 & 2x^3-2x^4-6x^3y
\end{bmatrix}</math>
 
 
כמובן שהצבה של <math>x=0</math> או <math>y=0</math> לא תקדם אותנו יותר מדי.
 
אם נציב <math>(\frac{1}{2},\frac{1}{3})</math> נקבל (אם אין לי טעות חישוב):
<math>\begin{bmatrix}
\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{9} & \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \\
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-\frac{1}{9} & -\frac{1}{12} \\
-\frac{1}{12} & -\frac{1}{8}
\end{bmatrix}</math>
 
 
המינור הראשון שלילי והמינור השני חיובי, לכן זו מטריצה שלילית (לחלוטין) ולכן זו נקודת מקסימום.
 
עכשיו צריך למיין ידנית את שאר הנקודות.
 
נתחיל בנקודות שעל ציר <math>y</math>.
 
נביט על נקודה כלשהיא <math>(0,y_0)</math>.
 
אם נתקדם לאורך הישר <math>y=-x+y_0</math> (שעובר כמובן ב <math>(0,y_0)</math>).
 
אז
 
<math>f(x,-x+y_0)=x^3(-x+y_0)^2(1-y_0)</math>
 
אם <math>y_0>1</math>  אז הפונקציה שלנו שלילית כש <math>x>0</math> וחיובית כש <math>x<0</math>
 
אם <math>y_0<1</math>  אז הפונקציה שלנו חיובית כש <math>x>0</math> ושלילית כש <math>x<0</math>
 
בכל מקרה היא לא תהיה נקודת קיצון.
 
נותר לבדוק את הנקודה <math>(0,1)</math>.
 
אם נתקדם לאורך הישר <math>y=1</math> נקבל ש
 
<math>f(x,1)=-x^4</math> ולכן <math>x=0</math> היא מקסימום לאורך הקו הזה.
 
אבל אם נתקדם לאורך הישר <math>y=-2x+1</math> נקבל ש
 
<math>f(x,-2x+1)=x^3(-2x+1)^2(x)=x^4(-2x+1)^2</math> נקבל ש <math>x=0</math> היא נקודת מינימום לאורך הקו הזה.
 
לכן <math>(0,1)</math> היא גם נקודת אוכף.
 
סיכום ביניים: כל ציר <math>y</math> הוא נקודות אוכף.
 
כעת נעבור לציר <math>x</math>.
 
כלומר נחקור נקודות מהצורה <math>(x_0,0)</math>.
 
אם <math>x_0>1</math> אז קיימת סביבה של <math>(x_0,0)</math> שבה <math>1-x-y<0</math> ולכן באותה סביבה מתקיים ש
 
<math>x^3y^2(1-x-y)\leq 0</math> ולכן <math>f(x_0,0)=0</math> היא נקודת מקסימום.
 
אם <math>0<x_0<1</math> אז קיימת סביבה שבה <math>1-x-y>0</math> ואז <math>x^3y^2(1-x-y)\geq 0</math> ולכן <math>(x_0,0)</math> היא מינימום
 
אם <math>x<0</math> אז קיימת סביבה שבה <math>1-x-y>0</math> ואז <math>x^3y^2(1-x-y)\leq 0</math> ולכן <math>(x_0,0)</math> היא מקסימום.
 
כבר ראינו שהנקודה <math>(0,0)</math> היא נקודת אוכף (היא על ציר <math>y</math>).
 
נותר לבדוק את הנקודה <math>(1,0)</math>.
 
נתקדם לאורך הישר <math>x=1</math> ונקבל <math>f(1,y)=-y^3</math> שזאת פונקציה עם נקודת פיתול ב <math>y=0</math>.
 
לכן <math>(1,0)</math> היא נקודת אוכף.
 
לסיכום:
 
נקודות קריטיות:
 
<math>\{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}</math>
 
מתוכן:
 
מקסימום:
 
<math>\{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}\cup \{(x,0)\mid x>1 \or x<0\}</math>
 
מינימום:
 
<math>\{(x,0)\mid 0<x<1\}</math>
 
אוכף:
 
<math>\{(0,y)\}\cup\{(1,0)\}</math>

גרסה מ־08:36, 8 בפברואר 2013