הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"
מתוך Math-Wiki
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף א) |
||
שורה 4: | שורה 4: | ||
==שאלה 5== | ==שאלה 5== | ||
===סעיף א=== | ===סעיף א=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות. | ||
+ | |||
+ | אם מחליפים | ||
+ | |||
+ | <math>x=r\cos\theta\quad y = r\sin\theta</math> | ||
+ | |||
+ | אז נקבל שהתחום החדש הוא <math>a\leq r\leq b</math> ו <math>0\leq\theta \leq 2\pi</math> | ||
+ | |||
+ | הבעיה היחידה היא זה לא נכון להגיד ש <math>\arctan(\frac{y}{x})=\theta</math>. | ||
+ | |||
+ | זה נכון רק כש <math>-\frac{\pi}{2}< \theta < \frac{\pi}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | בתחום <math>\frac{\pi}{2}<\theta <\frac{3\pi}{2}</math> מתקיים דווקא <math>\theta = \arctan(\frac{y}{x}) +\pi</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ולכן נעדיף ש <math>\theta</math> יהיה בתחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}</math> ולא <math>[0,2\pi]</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r | ||
+ | = | ||
+ | \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+ | ||
+ | \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | <math>= | ||
+ | \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \theta r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+ | ||
+ | \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, (\theta -\pi) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r | ||
+ | |||
+ | = | ||
+ | |||
+ | \int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+ | ||
+ | \int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r | ||
+ | </math> |
גרסה מ־19:56, 9 בפברואר 2013
שאלה 5
סעיף א
זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות.
אם מחליפים
אז נקבל שהתחום החדש הוא ו
הבעיה היחידה היא זה לא נכון להגיד ש .
זה נכון רק כש
בתחום מתקיים דווקא
ולכן נעדיף ש יהיה בתחום ולא