שינויים
/* שאלה 4 */
<math>\{(0,y)\}\cup\{(1,0)\}</math>
==שאלה 5==
===סעיף א===
דרך א' לפתרון:
היות ו <math>\arctan(\frac{y}{x})</math> היא פונקציה אי זוגית לפי <math>y</math> (או <math>x</math>) והתחום שלנו סימטרי ביחס ל <math>y</math> (או <math>x</math>) אז האינטגרל הוא <math>0</math>.
דרך ב', חישוב:
זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות.
אם מחליפים
<math>x=r\cos\theta\quad y = r\sin\theta</math>
אז נקבל שהתחום החדש הוא <math>a\leq r\leq b</math> ו <math>0\leq\theta \leq 2\pi</math>
הבעיה היחידה היא זה לא נכון להגיד ש <math>\arctan(\frac{y}{x})=\theta</math>.
זה נכון רק כש <math>-\frac{\pi}{2}< \theta < \frac{\pi}{2}</math>
בתחום <math>\frac{\pi}{2}<\theta <\frac{3\pi}{2}</math> מתקיים דווקא <math>\theta = \arctan(\frac{y}{x}) +\pi</math>
ולכן נעדיף ש <math>\theta</math> יהיה בתחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]</math> ולא <math>[0,2\pi]</math>
<math>\iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r
=
\int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+
\int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r
</math>
<math>=
\int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \theta r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+
\int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, (\theta -\pi) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r
=
\int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+
\int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r
=0+0=0
</math>
===סעיף ב===
נראה שצריך להשתמש כאן בקוארדינטות כדוריות
<math>x=r \cos \theta \sin \varphi ,\quad y = r \sin \theta \sin \varphi ,\quad z = r\cos\varphi</math>
והתחום החדש שלנו יהיה
<math>r\leq 1,\quad 0\leq\theta\leq 2\pi ,\quad 0\leq\varphi \leq \frac{\pi}{2}</math>
ולכן
<math>\iiint \limits_K \, z(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z
=\int_0^1 \, \int_0^{2\pi} \, \int_0^{\frac{\pi}{2}} \, (r^2 \sin \varphi)( r \cos \varphi) ({(r^2)}^{-\frac{3}{2}}) \mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta\mathrm{d}r
</math>
<math>
=\int_0^1 \, \int_0^{2\pi} \, \int_0^{\frac{\pi}{2}} \, \sin \varphi \cos \varphi \mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta\mathrm{d}r
=\int_0^1 \, \int_0^{2\pi} \, \int_0^{\frac{\pi}{2}} \, \frac{1}{2}\sin 2\varphi \mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta\mathrm{d}r
= \int_0^1 \, \int_0^{2\pi} \, -\frac{1}{4} \cos(2 \varphi) |_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}\theta \mathrm{d}r
= \int_0^1 \, \int_0^{2\pi} \, \frac{1}{2} \mathrm{d}\theta \mathrm{d}r
= \int_0^1 \, \pi \mathrm{d}r = \pi
</math>
