שינויים

 '''>> ראשית תוודא שהמכפלה הנ"ל מוגדרת. במידה וכן <math>A^t=(d_{ij})</math> כאשר <math>d_{ij}=a_{ji}\ \forall j,i</math>, .  '''לכן<math>c_{ij}=\Sigma_{l=1}^{n}d_{il}b_{lj}=\Sigma_{l=1}^{n}^{n}a_{li}b_{lj}</math>  '''ולכן המשוואה הראשונה השניה היא הנכונה. המשוואה הראשונה מגדירה איבר כללי בAB (שוב, במידה ומכפלה זו מוגדרת). עדי  תודה רבה, עדי (: <font size=3 color=#ff0000>==חומר לבוחן==כל החומר עד מרחבים וקטוריים, לא כולל. תרגיל 6 לא נכלל בשאלות, אבל לא יכול להזיק לפתור לקראת הבוחן שאלות מהחוברת עד עמ' 19 כולל.</font> == מיקום הבוחן == היכן מתקיים הבוחן לקבוצה של יפית? == תרגיל בית מספר 7 == בשאלה 2 שלא מהחוברת, במקומות של השדה מופיעים ריבועים ריקים. '''>>לא אצל כולם משום מה. בכל מקרה זה C. אוקי תודה רבה. האם ניתן להעלות את התרגילים כקבצי pdf? == תרגיל 7 שאלה 4.8 == האם יש קשר בין סעיף א ל-ב? כלומר, האם הדרישה היא למצוא "נוסחא כללית" ל-Ui ו-Vi כך שעבור i=1 מתקיים א ועבור i=2 מתקיים ב?  או שצריך למצוא U,V שמקיימים את א, ובלי קשר למצוא U,V אחרים שמקיימים את ב? '''>> לא, אין קשר. Ui,Vi לא צריכים להיות תלויים ב-i באופן של-1 קורה א ול-2 קורה ב. צריך דוגמא עבור א ודוגמא (תלויה או לא תלויה בה) עבור ב. עדי == בוחן <math>II</math> ==  <font size=3 color=#ff0000> ב-7 לינואר, 18:00-19:00 יתקיים בקורס בוחן (השני מתוך שניים) על מרחבים וקטוריים, תתי מרחבים, תלות-לינארית, בסיס, מימד ודרגה של מטריצה, בפרט גם: מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס <math>(A\in M_{mxn}(F),\ Null(A)=\{v\in F^n:Av=0\})</math>. יש ללמוד את כל החומר מההרצאות. הבוחן יתקיים בבניין:604, כיתה:62 . יפית ועדי </font> == תרגיל 10 שאלה 11.12 == אנחנו עובדות תחת ההנחה ש-A היא מסדר nxn? זה מצוין בתרגיל הקודם, אבל לא בנוכחי, ונדמה לי שללא ההנחה הזאת הטענות אינן שקולות. '''>>כן == שאלת הוכחה ==  == כותרת ==איך מוכיחים שאם ההעתקה לינארית אזי ההעתקה מה-0 מ"ו של התחום הולך ל-0 מ"ו של הטווח? '''>> תהי <math>T:V->W</math>. אם <math>V\ne \{0\}</math> אז <math>\exist v\in V:0\ne v</math> ולכן <math>T(0_V)=T(v+(-v))=T(v)+T(-v)=T(v)-T(v)=0_W</math>. '''אם V הוא מרחב האפס ו-W לא (אם כן אז אפס יכול ללכת רק לאפס) ונניח בשלילה ש <math>T(0_V)=w\in W:w\ne 0_W</math> '''אז <math>-w=-T(0_V)=T(-0_V)=T(0_V)</math>  '''כלומר <math>w=-w</math>, אחרת למקור שתי תמונות.  '''כתוצאה מכך, אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין שונה מ-2 אז <math>w=0_W</math>.  '''אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין 2 אז <math>T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V)=2w=0_W</math>, מה שלא יכול לקרות כי <math>w\ne 0_W</math> ומקור לא יכול להישלח לשתי תמונות. עדי == בוחן שני == תוכלו להעלות לאתר את השאלות מהבוחן השני? '''>>עלה ביום הבוחן == פתרונות למבחנים == האם אפשר לצרף פתרונות למבחנים שהועלו לאתר? תודה. '''>>העלתי אחד בינתיים תודה. == בסיס ל-NULL == רציתי לשאול, כשרוצים למצוא את הבסיס והמימד של KerF בהע"ל מ-R4 ל-R3, אני פותרת מע' משוואות הומוגנית, ו-2 משתנים חופשיים, האם קיימים מס' בסיסים? לי יצא ווקטורי בסיס של (0 1 2 1) (1- 0 1 2)ובספר (1 0 2 1) (0 1- 1 2) '''>>וודאי. תבדקי אם הם פורשים את אותו מרחב, כלומר, שתיהן קב' בת"ל מאותו גודל (מה שאכן קורה) וניתן לקבל את הוקטורים של האחת כצ"ל של וקטורי השניה.'''אכן, אם הן פורשות מרחב מאותו מימד והאחת מוכלת בשניה אז הן שוות.עדי == פונקציונלים == עמוד 108 שאלה 1.3 ב, בחוברת של בועז צבאן. איך מוכיחים שההעתקה היא לא פונקציונל? (איך מוכיחים שהיא כן..?) אמרנו שפונקציונל זה העתקה של מרחב לשדה שלו, למה זה לא מתקיים בשאלה 1.3? תודה מראש:) '''>> בדיוק כפי שעושים עבור ה"ל. פונקציונל היא ה"ל במקרה הפרטי שהטווח הינו שדה המרחב הוקטורי בתחום. '''במקרה של דטרמינטות: <math>|kA|=k^n|A|</math> ולא <math>k|A|</math> כפי שדורשת ה"ל '''במקרה ב', קל למצוא דוגמא, למשל: <math>T((2,2)+(2,3))=T(4,5)=20\ne T(2,2)+T(2,3)=4+6=10</math>. עדי   == בועז צבאן עמוד 56 שאלה 2.7 סעיף א == ב- <math>T=T^{2}</math> הכוונה ש: <math>\forall v\epsilon V: T(v)=T^{2}(v)=T(T(v))</math> ? '''>>כן. אם זוהי אכן הכוונה, האם ניתן להפריך ע"י הדוגמא הבאה?  <math>T(v)=T(x,y)=(x,0) , V=\mathbb{R}^{2}</math> ואז התנאי מתקיים, אבל <math>T\neq I_{v},-I_{v}</math> '''>> נכון מאוד. == דרגת מטריצה == שלום! איך מוכיחים ש rankAB קטן או שווה ל rankA (או B)? תודה! <math>y\in C(AB)=>\exists x:ABx=y=>\exists Bx:A(Bx)=y => y\in C(A)=>C(AB)\subseteq C(A)=>rank(AB)\leq rank(A)</math> כמו כן, נאמר שמס' העמודות ב-B הוא m, ולכן גם מס' העמודות ב-AB הוא m/ ממשפט הדרגה <math>dim(Null(B))+rank(B)=m=dim(Null(AB))+rank(AB)</math> היות ו- <math>x\in Null(B) => Bx=0 =>ABx=0 => x\in Null(AB) =>Null(B)\subseteq Null(AB) => dim(Null(B))\leq dim(Null(AB))</math> נקבל ש- <math>rank(B)\geq rank(AB)</math>. עדי == תרגיל 1 מועד א 2006 == אומרים שלכל b למערכת Ax=b יש פתרון (b שייך לFm). אז אני מוכיחה שA הפיכה ולכן יש פתרון יחיד, א. האם נכון שזה גורר שעמודות ושורות A בתל וש n=m? ב. האם מרחב העמודות של A שווה ל Fm? איך מוכיחים זאת?תודה רבה! '''>> ראשית, אם אינך יודע אם n=m איך הוכחת שA הפיכה? מט' הפיכה רק אם היא ריבועית. בכל מקרה הנתון אינו גורר זאת ולא פיתרון יחיד. <math>C(A)=F^m</math> היות ונתון כי לכל b קיים <math>x=(x_1,...,x_n)</math> כך ש <math>Ax=\sum x_iC_i(A)=b</math>. כלומר עמודות A פורשות כל וקטור ב<math>F^m</math>. עדי == העתקות == האם קיימת העתקה מR2 לR2 כך ש: imT=kerT? מה עם נגיד העתקה ששולחת כל (0,X) לוקטור האפס וכל (X,Y) לוקטור (0,X)?   '''(לא מתרגלת)בהגדרה שלך יש בעיה, היא שולחת וקטור מהצורה (x,0) לשני וקטורים שונים: (0,0) מצד אחד ו-(x,0) מצד שני. אם תגדיר אותה כך שרק כאשר y שונה מאפס היא תשלח את (x,y) לוקטור (x,0), תקבל העתקה שאינה לינארית. לדוגמא: (1,2) יילך ל- (1,0), (2-,2) יילך ל-(2,0), אבל (1,2)+(2-,2)=(3,0) יילך ל-(0,0) [ולא ל-(3,0), כפי שהיה אמור להיות בהעתקה לינארית]. והצעה להעתקה כזו (לא בדקתי עד הסוף, אבל נראה לי): העתקה T ששולחת כל וקטור (x,y) לוקטור (0,y). ככה יתקבל בתמונה כל ציר ה-x, והגרעין יהיה כל הוקטורים שערך ה-y שלהם הוא 0, שזה גם ציר ה-x. כדאי לשים לב, אגב, ש-T בריבוע היא העתקת האפס (לא רק בדוגמא שלי, בכל העתקה שמקיימת את התנאי בשאלה).'''  צודקת, תודה רבה (: '''אכן זו ההעתקה המתאימה. לכל שדה ממימד זוגי 2n ניתן למצוא כזו, נשלח את <math>e_1,...,e_n</math> ל-0, ואת <math>e_{n+1},...,e_{2n}</math> ל-<math>e_1,...,e_n</math> בהתאמה. עבור שדה ממימד אי זוגי אין זה אפשרי היות וזה ידרוש מימד שאיננו שלם. עדי == בשאלה 2.18 מעמוד 57 == צריך להוכיח שקילות בין שלושה סעיפים. ראשית, בין סעיפים א ו-ב, מספיק להשתמש במשפט המימדים (dimKerT+dimImT=dimV) עבור T ועבור T^2, ולהסתמך על כך ש-ImT^2 מוכלת ב-ImT, וש-KerT מוכל ב-KerT^2? שנית, לא הצלחתי להוכיח גרירה מסעיף א לסעיף ג, או מסעיף ב לסעיף ג.  '''>> עשינו את השאלה בימלואה בתירגול האחרון. שאלה נוספת- הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים ממעלה 2 הוא: {1,x^2,x}. קבוצת וקטורי הקואורדינטות של הבסיס הסטנדרטי, לפי עצמו, שהיא: {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} מהווה גם היא בסיס למרחב הפולינומים p[x]2?  '''>>לא, אלו וקטורי הבסיס הסטנדרטי של <math>F^3</math> אשר איזומורפי למרחב זה. ודבר אחרון (לבינתיים...): יש צורך ללמוד העתקה דואלית למבחן? (המרצה אמר שצריך ללמוד מרחב דואלי ובסיס דואלי, אך האם גם העתקה?) '''>> רק אם עשיתם את זה בכיתה. עדי == תרגילים 1 ו-2 == רלוונטיים לחומר הבחינה? '''>> כבסיס לכל מה שבא אחרי. לא תוכל לפתור שאלה מעל המרוכבים ללא חשבון מרוכבים או להשתמש בתכונות של סקלרים מבלי לדעת אכסיומות של שדות. עדי == מבחן 2012 מועד ב' == בשאלה 3 הפתרון לא נכון ואני ממש לא יודעת איך פותרים אותו.האם העובדה שהשדה שלי בעל p איברים אומרת שdimF^n=p^n??תודה מראש :) '''>>לא. המימד הוא n. הוא התכוון, כפי שנעשה בפיתרון, למימד מרחב ההעתקות. הדבר היחיד שחסר בפתרון הוא המעבר מהמימד שהוא אכן mn למספר האייברים, שזה מה שביקשו. כל מטריצה היא צ"ל של mn אייברי בסיס ולכל וקטור בסיס p אפשרויות לסקלר שהוא מקדמו בצירוף הלינארי. לכן <math>p^{mn}</math>. גם לפי משפט ההגדרה ניתן לשלוח n אייברי בסיס של <math>F^n</math> ל-n אייברי טווח מתוך <math>p^m</math> לכן <math>(p^m)^n=p^{mn}</math> אפשרויות.עדי == qn == Let V be a vector space over F.U is a subspace of V.Let v,w∈V.Prove that if dim(U+span{(v+w)})<dim(U+sp{v}) then v,w∉U  '''Assume v,w∈U then U+sp{v+w}=U=U+sp{v}. Therefore dim(U+sp{v+w})=dim(U)=dim(U+sp{v}). contradictionso v∉U or w∉U.  '''If (w∉U and v∈U) then v+w∉U and we get<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0\geq dim(U)=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction  '''If (v∉U and w∈U) then v+w∉U and we get <math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0= dim(U)+dim(sp\{v\})-dim(U\bigcap sp\{v\})=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction so v and w are not in U Adi == במבחנים מתשס"ו (מועד א' ו-ב') == השאלה הראשונה מתייחסת למערכת x=bA (ולא Ax=b). האם הסדר שונה בכוונה?... (לא מתרגלת) אני חושבת שכן, תראי שכדי שהכפל יהיה מוגדר בכלל אזי b צריך להיות מצד שמאל, ואז את מקבלת שx הוא וקטור שורה בעל n מקומות  למה x לא יכול להיות וקטור שורה בעל n עמודות? (נראה לי דווקא שהכפל כן מוגדר בצורה הזאת. נתון ש-b ב-Fm, כלומר הוא וקטור שורה או עמודה מגודל m (סדר 1xm, או mx1, בהתאמה).נצא מנקודת הנחה שהוא מסדר 1xm, ואז אין בעיה לכפול (משמאל) במטריצה שמספר שורותיה הוא m.)  לא הבנת אותי נכון, התכוונתי שלפי דעתי אין טעות בסדר :)אם b הוא מסדר 1Xm, אז x הוא מסדר 1Xn, כלומר וקטור שורה.ומה שאמרת זה בדיוק מה שהתכוונתי.ואגב-מאיפה מועד ב'?  מפה: [http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/] תודה! == מבחן 2010 == אפשר לקבל כיוון לפתרון שאלה 4א?  תודה. (לא מתרגלת) תסמן dim(nullA<math>\cap</math>CspanB)=pתקח בסיס לחיתוך, תשלים אותו לבסיס למרחב העמודות של B ואז תנסה לראות מה קורה כשמכפילים AB. == 2012 מ ועד ב' == שלום! אפשר בבקשה להסביר מה לא נכון בפתרון של 3 סע' ב?תודה! '''>> ראשית, הוא לא הגדיר את התמונות מוכלות אלא שוות. שנית, זה שיש איזושהי זהות בין קבוצות התמונות לא אומר שמקור-מקור התמונות זהות. הפיתרון הנכון צריך להיות: <math>C(A)=sp\{v_1,...,v_k\}, C(B)=sp\{v_1,...,v_k,...,v_l\}, F^n=sp\{v_1,...,v_k,...,v_l,...,v_n\}</math>. אזי, קיימים בסיסים <math>\{x_1,...,x_m\},\{y_1,...,y_m\}</math> כך ש- <math>Ax_i=v_i,\ \forall i=1,...,k\ and\ 0\ otherwise</math> <math>By_i=v_i,\ \forall i=1,...,l\ and\ 0\ otherwise</math> ונגדיר C ע"י <math>Cx_i=y_i,\ \forall i=1,...,k\ and\ 0\ otherwise</math>. לכן: <math>\forall i=1,...,m\ \ BCx_i=B(y_i,\ i=1,...,k\ and\ 0\ otherwise)=v_i,\ \forall i=1,...,k\ and\ 0\ otherwise=Ax_i</math>. עדי תודה רבה (: == פונקציונאלים == איך מחשבים בסיס דואלי?ומה לגבי השאלה שהמרצה נתן בנושא םונקציונלים בשיעור האחרון?תודה. '''>> ראה ע"מ 109 למטה בחוברת של ד"ר צבאן. '''>> לגבי השאלה, אני לא יודעת מה סוכם מול המרצה. הוא אמר שתישלחו לו או משהו, לא? תמורת ציון? עדי  לא זכור לי שנאמר משהו בנוגע לציון. '''>> עקרונית, התשובה לסעיף א' היא כן, אם מימד התמונה קטן ממימד הטווח. וזה מוביל לסעיף ב'- שיעיד כי מימד התמונה הוא לכל היותר k. עדי == פתרונות למבחנים == אפשר בבקשה לפרסם פתרונות למועדים 2006, 2010, 2012 ב'?תודה רבה ובהצלחה לכווווולם! :)