|
|
| שורה 3: |
שורה 3: |
|
| |
|
| ==שאלה 5== | | ==שאלה 5== |
|
| |
| ===סעיף א===
| |
|
| |
| כמו תמיד בחישוב אינטגרל של ערך מוחלט, צריך לפצל לתחום שבו הפונקציה חיובית ותחום שבו היא שלילית.
| |
|
| |
| במקרה שלנו <math>\cos(\theta)</math> היא חיובית כאשר <math>0\leq\theta \leq \frac{\pi}{2}</math> וכאשר
| |
| <math>\frac{3\pi}{2} \leq\theta \leq 2\pi </math>
| |
| ושלילית כאשר <math>\frac{\pi}{2}\leq\theta \leq \frac{3\pi}{2}</math>
| |
|
| |
| כלומר
| |
|
| |
| <math>\int _0 ^\pi \, \int_0^\pi \, |\cos(x+y)| \mathrm{d}x\mathrm{d}y
| |
| = \iint \limits_{0\leq x+y \leq \frac{\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
| |
| -\iint \limits_{\frac{\pi}{2}\leq x+y \leq \frac{3\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
| |
| +\iint \limits_{\frac{3\pi}{2}\leq x+y \leq 2\pi } \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>
| |
|
| |
| האינטגרל הראשון הוא:
| |
|
| |
| <math> \iint \limits_{0\leq x+y \leq \frac{\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
| |
| = \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, \int_0^{\frac{\pi}{2}-x} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x
| |
| = \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, \sin(x+y) \mid_0^{\frac{\pi}{2}-x} \mathrm{d}x
| |
| </math>
| |
|
| |
| <math>= \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, 1 - \sin(x) \mathrm{d}x
| |
| = x+\cos(x) \mid_0 ^\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1</math>
| |
|
| |
| באופן דומה האינטגרל השלישי הוא:
| |
|
| |
| <math> \iint \limits_{\frac{3\pi}{2}\leq x+y \leq 2\pi } \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
| |
| = \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \int_{\frac{3\pi}{2}-x}^{\pi} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x
| |
| = \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+y) \mid_{\frac{3\pi}{2}-x}^{\pi} \mathrm{d}x
| |
| </math>
| |
|
| |
| <math>
| |
| = \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+\pi) +1 \mathrm{d}x = -\cos(x+\pi)+x \mid_\frac{\pi}{2} ^{\pi} = -1+\pi - \frac{\pi}{2}
| |
| = -1+ \frac{\pi}{2}
| |
| </math>
| |
|
| |
| את האינטגרל השני צריך לפצל
| |
|
| |
| <math>
| |
| \iint \limits_{\frac{\pi}{2}\leq x+y \leq \frac{3\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
| |
| =
| |
| \int _0 ^{\frac{\pi}{2}} \, \int_{\frac{\pi}{2}-x}^{\pi} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x+
| |
| \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \int_0^{\frac{3\pi}{2}-x} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x
| |
| </math>
| |
|
| |
| <math>
| |
| =
| |
| \int _0 ^{\frac{\pi}{2}} \, \sin(x+y) \mid_{\frac{\pi}{2}-x}^{\pi} \mathrm{d}x+
| |
| \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+y) \mid_0^{\frac{3\pi}{2}-x} \mathrm{d}x
| |
| =
| |
| \int _0 ^{\frac{\pi}{2}} \, \sin(x+\pi) - 1 \mathrm{d}x
| |
| \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, -1 -\sin(x) \mathrm{d}x
| |
| </math>
| |
|
| |
| <math>
| |
| =
| |
| -\cos(x+\pi) - x \mid_0 ^{\frac{\pi}{2}}+
| |
| -x +\cos(x) \mid_\frac{\pi}{2} ^{\pi}
| |
| =
| |
| -\frac{\pi}{2}-1 -\pi -1 + \frac{\pi}{2} = -2-\pi
| |
| </math>
| |
|
| |
| לכן הפתרון בסך הכל הוא:
| |
|
| |
| <math>\frac{\pi}{2}-1 +2+\pi +\frac{\pi}{2}-1=2\pi</math>
| |
