הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"
מתוך Math-Wiki
מ (←התמרות לפלס) |
מ (←התמרות פורייה) |
||
שורה 54: | שורה 54: | ||
::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f</math> ממשית ואי־זוגית אזי <math>\hat f(-\omega)=-\hat f(\omega)</math> והיא פונקציה מדומה. | ::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f</math> ממשית ואי־זוגית אזי <math>\hat f(-\omega)=-\hat f(\omega)</math> והיא פונקציה מדומה. | ||
:* אם <math>f</math> מדומה אזי <math>\hat f(-\omega)=-\overline{\hat f(\omega)}</math>. | :* אם <math>f</math> מדומה אזי <math>\hat f(-\omega)=-\overline{\hat f(\omega)}</math>. | ||
− | :* אם <math>a\ne0</math> אזי <math>\mathcal F[f(ax+b)](\omega)=\frac1{|a|}\exp\!\left(\frac{\mathrm ib\omega}2\right)\mathcal F[f]\left(\frac\omega a\right)</math>. | + | :* אם <math>a\ne0</math> אזי <math>\mathcal F[f(ax+b)](\omega)=\frac1{|a|}\exp\!\left(\frac{\mathrm ib\omega}2\right)\mathcal F[f]\!\left(\frac\omega a\right)</math>. |
:* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F\!\left[\mathrm e^{\mathrm iax}f(x)\right]\!(\omega)=\mathcal F[f](\omega-a)</math>. | :* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F\!\left[\mathrm e^{\mathrm iax}f(x)\right]\!(\omega)=\mathcal F[f](\omega-a)</math>. | ||
:* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F[\cos(ax)f(x)](\omega)=\frac{\mathcal F[f](\omega-a)-\mathcal F[f](\omega+a)}2</math>. | :* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F[\cos(ax)f(x)](\omega)=\frac{\mathcal F[f](\omega-a)-\mathcal F[f](\omega+a)}2</math>. | ||
שורה 64: | שורה 64: | ||
* '''עקרון הדואליות של ההתמרה וההתמרה ההפוכה:''' תהי <math>f</math> המקיימת <math>f'\in E(\mathbb R)</math>, ונרצה למצוא את התמרת פורייה של ההתמרה <math>\hat f</math> שלה. נוכל להציב <math>x:=-\omega,\ \omega:=x</math> ב־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega=f(x)</math>, לחלק את שני האגפים ב־<math>2\pi</math> ולקבל <math>\hat\hat f(\omega)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(x)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=\frac{f(-\omega)}{2\pi}</math>. | * '''עקרון הדואליות של ההתמרה וההתמרה ההפוכה:''' תהי <math>f</math> המקיימת <math>f'\in E(\mathbb R)</math>, ונרצה למצוא את התמרת פורייה של ההתמרה <math>\hat f</math> שלה. נוכל להציב <math>x:=-\omega,\ \omega:=x</math> ב־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega=f(x)</math>, לחלק את שני האגפים ב־<math>2\pi</math> ולקבל <math>\hat\hat f(\omega)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(x)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=\frac{f(-\omega)}{2\pi}</math>. | ||
* אם <math>f,g\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\overline{\hat g(\omega)}\mathrm d\omega</math> מתכנסים אזי <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx=2\pi\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\overline{\hat g(\omega)}\mathrm d\omega</math>. | * אם <math>f,g\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\overline{\hat g(\omega)}\mathrm d\omega</math> מתכנסים אזי <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx=2\pi\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\overline{\hat g(\omega)}\mathrm d\omega</math>. | ||
− | :* {{הערה|מקרה פרטי:}} '''נוסחת פלנשרל (Plancherel):''' אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\mathrm dx</math> ו־<math>\int\limits_{\infty}^\infty \left|\hat f(\omega)\right|^2\mathrm d\omega</math> מתכנסים אזי <math>\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\mathrm dx=2\pi\int\limits_{-\infty}^\infty\left|\hat f(\omega)\right|^2\mathrm d\omega</math>. | + | :* {{הערה|מקרה פרטי:}} '''נוסחת פלנשרל (Plancherel):''' אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\mathrm dx</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty \left|\hat f(\omega)\right|^2\mathrm d\omega</math> מתכנסים אזי <math>\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\mathrm dx=2\pi\int\limits_{-\infty}^\infty\left|\hat f(\omega)\right|^2\mathrm d\omega</math>. |
* '''קונבולוציה:''' יהיו <math>f,g:\mathbb R\to\mathbb R</math>. אזי <math>\forall x\in\mathbb R:\ (f*g)(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\mathrm dt</math>. | * '''קונבולוציה:''' יהיו <math>f,g:\mathbb R\to\mathbb R</math>. אזי <math>\forall x\in\mathbb R:\ (f*g)(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\mathrm dt</math>. | ||
* <math>f*g=g*f</math> | * <math>f*g=g*f</math> |
גרסה מ־10:25, 23 בפברואר 2013
תוכן עניינים
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
- פונקציות.
- בהנתן נסמן ו־.
- הם מקדמי פורייה של (בהתאמה) בטור פורייה של , ו־ מקדמי פורייה של בטור פורייה המרוכב.
- היא העצרת הכפולה של , והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם אי־זוגי) מ־1 עד , או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר: ו־.
- אורתונורמלית ו־ אורתוגונלית.
תזכורות ותוספות לאלגברה לינארית
- אי־שוויון הולדר: אם כאשר (כלומר, צמודים) אזי .
- אם אזי .
- ההיטל של על הוא .
- אם בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־ ב־ הוא , כלומר .
- אי־שוויון בסל: .
- תהליך גרם–שמידט: בהנתן בסיס נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי ובסיס אורתונורמלי באופן הבא:
- מרחב הפולינומים ממעלה או פחות מסומן .
- פולינומי לז׳נדר: בהנתן המכפלה הפנימית על מרחב הפולינומים , הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם–שמידט מהבסיס הם ניתן לחשב אותם גם ע״י או , והם מקיימים .
- פולינומי צבישב: בהנתן המכפלה הפנימית על מרחב הפולינומים , הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם–שמידט מהבסיס הם ניתן לחשב אותם גם ע״י (נוסחת רודריגז) או , והם מקיימים .
טורי פורייה
- פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין בקטע יוצרות מרחב מכפלה פנימית עם . מכפלה פנימית שימושית נוספת היא .
- הוא סימון מקוצר ל־.
- מערכת סגורה: נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור את התנאי .
- המערכות ו־ אורתונורמליות סגורות ב־ לפי המכפלות הפנימיות ו־ בהתאמה.
- טור פורייה של ב־ הוא כאשר .
- אם זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
- מתקיים .
- טור פורייה המרוכב של ב־ הוא כאשר .
- מתקיים וכן .
- אם ו־ הסכום החלקי ה־־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של , אזי .
- הוא מרחב כל הפוקנציות ב־ שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה ב־ למעט, אולי, בקצות הקטע.
- משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה): תהי אינטגרבילית בהחלט ב־ ובעלת מחזור . בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור פורייה ב־ מתכנס ל־.
- אם אזי ניתן ליצור המשכה מחזורית שלה ב־.
- אם נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־.
- תופעת גיבס: נניח שבנוסף ו־ נקודת אי־רציפות מסוג ראשון של כך ש־. כמו כן, הסכום החלקי ה־־י של טור פורייה של . אזי קיימת סדרת נקודות המקיימת וכן , וזו השגיאה המקסימלית.
- למת רימן–לבג: אם אינטגרבילית בהחלט אזי כאשר (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
- גרעין דיריכלה: . בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־ שווה ל־.
- אם רציפה ב־ ו־ אז טור פורייה של יתכנס אליה במ״ש על הקטע.
- שוויון פרסבל: אם אזי ו־.
- שוויון פרסבל המוכלל: אם אזי כאשר .
- אם רציפה ב־, ו־ אזי טור פורייה של גזיר איבר־איבר ומתקיים .
- אם אזי ניתן לבצע אינטגרציה איבר־איבר על טור פורייה. בנוסף, לכל ולכל מתקייםוהטורים מתכנסים במ״ש.
- אם קדומה ל־ ב־ אזי .
התמרות פורייה
- הוא המרחב הלינארי של כל הפונקציות המוגדרות מ־ ל־ שהן רציפות למקוטעין ואינטגרביליות בהחלט ב־.
- התמרת פורייה: נקראת "התמרת פורייה של " ומוגדרת ע״י .
- אם אזי מוגדרת ורציפה בכל נקודה . בנוסף, .
- לכל ולכל מתקיים:
- אם ממשית אזי .
- מקרה פרטי: אם ממשית וזוגית אזי והיא פונקציה ממשית.
- מקרה פרטי: אם ממשית ואי־זוגית אזי והיא פונקציה מדומה.
- אם מדומה אזי .
- אם אזי .
- אם אזי .
- אם אזי .
- אם אזי .
- אם ו־ אזי .
- אם מתכנס אזי גזירה ברציפות ומתקיים .
- התמרת פורייה ההפוכה: אם אזי בכל נקודה שבה קיימות הנגזרות החד־צדדיות מתקיים .
- מקרה פרטי: אם אזי .
- עקרון הדואליות של ההתמרה וההתמרה ההפוכה: תהי המקיימת , ונרצה למצוא את התמרת פורייה של ההתמרה שלה. נוכל להציב ב־, לחלק את שני האגפים ב־ ולקבל .
- אם ו־ ו־ מתכנסים אזי .
- מקרה פרטי: נוסחת פלנשרל (Plancherel): אם ו־ ו־ מתכנסים אזי .
- קונבולוציה: יהיו . אזי .
- אם אינטגרביליות בהחלט אז מוגדרת עבורן בכל וגם היא אינטגרבילית בהחלט.
- משפט הקונבולוציה: .
- שימוש חשוב: נניח שידועות ונרצה למצוא כך ש־. אזי .
התמרות פורייה שימושיות
- (הוכחה ע״י חישוב הנגזרת של האינטגרל שמגדיר את ההתמרה ופתרון המד״ר המתקבלת: ).
- עבור : (כאשר היא הפונקציה המציינת של קבוצה , ומוגדרת ע״י ).
התמרות לפלס
- חסימות מעריכית: נאמר ש־ חסומה מעריכית אם קיימים (חסם מעריכי) ו־ (סדר מעריכי) שעבורם .
- הוא המרחב הלינארי של פונקציות חסומות מעריכית כך ש־ והן אינטגרביליות בהחלט ב־ לכל .
- התמרת לפלס: תהי המקבלת ערכים ב־. אזי נקראת "התמרת לפלס של " ומוגדרת ע״י .
- אם וחסומה מעריכית אזי .
- אם עם סדר מעריכי אז קיימת לה התמרת לפלס ב־.
- משפט התמורה של הנגזרת: תהי עם חסם מעריכי וכך ש־. אזי התמרת לפלס של מוגדרת ב־ ומתקיים .
- קונבולוציה: יהיו . אזי .
- משפט הקונבולוציה: . אם בנוסף עם סדר מעריכי אז מוגדר לכל .
- תהא ונתונה . ממשפט הקונבולוציה עם נקבל .
- פונקציית הביסייד (Heaviside) היא .
התמרות לפלס שימושיות
בהתמרות הבאות, הוא מספר ממשי כרצוננו.
דגימה והתמרת פורייה בדידה
- נקראת "חסומה בתדר" אם . ה־ המינימלי שמקיים זאת נקרא "רוחב הפס" של .
- נניח כי חסומה בתדר ובעלת רוחב פס . אזי .
- התמרת פורייה בדידה (DFT): בהינתן סדרה של נקודות, נגדיר את התמרת פורייה הבדידה שלה ע״י כאשר . זו התמרה של נקודות ל־ נקודות אחרות.
- ההתמרת פורייה הבדידה ההפוכה (IDFT) נותנת את ערכי הסדרה המקורית לפי ערכי התמרת פורייה הבדידה שלה: .
- קונבולוציה: בהנתן שתי סדרות בעלות מחזור הקונבולוציה מוגדרת ע״י .
- משפט הקונבולוציה: (כאשר הכפל מתבצע איבר־איבר).
- מטריצת DFT: התמרת פורייה הבדידה הינה לינארית, לכן קל להגדיר אותה באמצעות מטריצה שתקיים . המטריצה מוגדרת כ־, וזו מטריצה יוניטרית (כלומר ) וסימטרית.
- FFT – Fast Fourier Transform: בעוד שחישוב על פי ההגדרה של התמרת פורייה בדידה הוא בעל סיבוכיות זמן ריצה , תהליכי FFT עושים זאת ב־. יש מספר שיטות כאלו, אנו למדנו רק את תהליך Cooley–Tukey. הפירוט אינו מופיע כאן, אלא בקישור הנ״ל לוויקפדיה.
מד״ח
- מעבר חום: נתונה המד״ח ( קבוע) עם תנאי ההתחלה .
- שיטת הפרדת משתנים: אם נתונים בנוסף תנאי השפה , נניח שניתן להציג את הפתרון כמכפלה . אזי כאשר מספר חיובי (אם אי־חיובי תנאי השפה לא יתקיימו). מקבלים שתי מד״ר נפרדות: . לגבי המד״ר הראשונה, תנאי השפה דורשים ש־ עבור ולכן, עבור נתון, פתרון לכל . לגבי המד״ר השנייה, הוא פתרון עבור נתון. הפתרון הכללי של הוא צירוף לינארי של פתרונות הבסיס: , כאשר מתנאי ההתחלה נובע ש־ מקדמי טור פורייה של ב־.
- שימוש בהתמרת פורייה: נסמן (כלומר, זו התמרת פורייה של לפי ). לפי המד״ח . פתרונה של המד״ר הזו הוא , והצבה של תתן . עתה נחפש פונקציה כך שהתמרת פורייה שלה לפי תהא . לפי ההתמרה של וכמה מתכונות ההתמרה נקבל ולכן, לפי משפט הקונבולוציה, .
- משוואות גלים: נתונה המד״ח ( קבוע) עם תנאי ההתחלה ו־ ותנאי שפה . נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה (שיטת הפרדת משתנים) ולכן עבור מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות: , ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל כאשר .
- נתונה מד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. נפעיל התמרת לפלס על אגפי המד״ר, נבודד את (תוך שימוש בהתמרת הנגזרת ובנוסחאות אחרות) ונמצא את ההתמרה ההפוכה שלה.