הבדלים בין גרסאות בדף "שיטות אינטגרציה"
(←ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית) |
|||
שורה 79: | שורה 79: | ||
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]] | [[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]] | ||
+ | |||
+ | == הצבות אוילר == | ||
+ | |||
+ | הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו-<math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>. | ||
+ | |||
+ | === אוילר 1 - הפולינום פריק === | ||
+ | |||
+ | נניח כי הפולינום <math>ax^2+bx+c</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן <math>ax^2+bx+c=a\left (x-\alpha\right )\left (x-\beta\right )</math>. | ||
+ | |||
+ | הצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u\cdot\left (x-\alpha\right )</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>. | ||
+ | |||
+ | ==== דוגמה ==== | ||
+ | |||
+ | <math>\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx</math> | ||
+ | |||
+ | ניעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left (x-1\right )</math>. לכן <math>\left(x-1 \right )\left(x-6 \right )=u^2\left(x-1 \right )^2</math>, כלומר <math>x-6=u^2\left(x-1 \right )</math>, ומכאן <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math>. לכן <math>dx=\frac{2u\left (u^2-1 \right )-2u\left (u^2-6 \right )}{\left (u^2-1 \right )^2}du=\frac{10u}{\left (1-u^2 \right )^2}du</math>. בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left ( x-1 \right )=u\cdot\left ( \frac{u^2-6}{u^2-1}-1 \right )=-\frac{5u}{u^2-1}</math> | ||
+ | |||
+ | מקבלים: | ||
+ | |||
+ | <math>\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot \frac{5u}{u^2-1}\ }\cdot\frac{10u}{\left ( 1-u^2 \right )^2}du=-2\int \frac{1}{u^2-6}du</math> כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים. | ||
+ | |||
+ | === אוילר 2 - פולינום יותר כללי === | ||
+ | |||
+ | ישנן שתי אפשרויות: | ||
+ | # בהינתן <math>a>0</math>, נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\cdot x+u</math>. | ||
+ | # בהינתן <math>c>0</math>, נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt{c}</math>. | ||
+ | |||
+ | נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>. | ||
+ | |||
+ | ==== דוגמה ==== | ||
+ | |||
+ | <math>\int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx</math> | ||
+ | |||
+ | ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math>. נעלה בריבוע ונקבל <math>x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2</math>, כלומר <math>x=\frac{6-u^2}{2u+7}</math>. לכן <math>dx=\frac{-2u\left (2u+7 \right )-2\left (6-u^2 \right )}{\left (2u+7 \right )^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du</math>, וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}</math>. | ||
+ | |||
+ | מקבלים: | ||
+ | |||
+ | <math>\int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2+7u+6}{2u+7} \ }\cdot 2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du=-\int\frac {2}{2u+7}du=-ln\left | 2u+7 \right |+c=-ln\left | \sqrt{x^2-7x+6}-x \right |+c</math> |
גרסה מ־19:23, 29 במרץ 2013
בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש.
תוכן עניינים
אינטגרציה "רגילה"
הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה,
.
השלמה לריבוע
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-.
דוגמה
ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:
אינטגרציה בחלקים
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:
(ניתן לוודא על ידי גזירה).
דוגמה
נחפש את .
לפי השיטה, נסמן , .
לכן נקבל , .
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
.
הרחבה
אינטגרציה בהצבה
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:
(ניתן לוודא על ידי גזירה).
דוגמה
נחפש את כאשר .
נבצע הצבה: . מקבלים:
(נזכור כי , לכן אין צורך בערך מוחלט).
הרחבה
ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב .
נזכור כי , ונקבל .
נקבל בנוסף .
לכן
כמו כן, , ולכן .
דוגמה
ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב . נקבל:
הרחבה
הצבות אוילר
הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם ו-.
אוילר 1 - הפולינום פריק
נניח כי הפולינום פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן .
הצבת אוילר: נציב (אפשר גם את השורש השני). נביע את באמצעות , ונוכל למצוא גם את וגם את .
דוגמה
ניעזר בהצבת אוילר: נציב . לכן , כלומר , ומכאן . לכן . בנוסף,
מקבלים:
כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
אוילר 2 - פולינום יותר כללי
ישנן שתי אפשרויות:
- בהינתן , נציב .
- בהינתן , נציב .
נביע את באמצעות , ונוכל למצוא את ואת .
דוגמה
ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב . נעלה בריבוע ונקבל , כלומר . לכן , וכן .
מקבלים: