הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"
מתוך Math-Wiki
מ (←מד״ח) |
מ |
||
שורה 103: | שורה 103: | ||
== דגימה והתמרת פורייה בדידה == | == דגימה והתמרת פורייה בדידה == | ||
* <math>f\in G(\mathbb R)</math> נקראת "חסומה בתדר" אם <math>\exists L>0:\ \forall |\omega|>L:\ \hat f(\omega)=0</math>. ה־<math>L</math> המינימלי שמקיים זאת נקרא "רוחב הפס" של <math>f</math>. | * <math>f\in G(\mathbb R)</math> נקראת "חסומה בתדר" אם <math>\exists L>0:\ \forall |\omega|>L:\ \hat f(\omega)=0</math>. ה־<math>L</math> המינימלי שמקיים זאת נקרא "רוחב הפס" של <math>f</math>. | ||
− | * נניח כי <math>f</math> חסומה בתדר ובעלת רוחב פס <math>L</math>. אזי <math>\forall x\in\mathbb R:\ \sum_{n\to-\infty}^\infty f\!\left(\frac{\pi n}L\right)\frac{\sin(Lx-\pi n)}{Lx-\pi n}</math>. | + | * נניח כי <math>f</math> חסומה בתדר ובעלת רוחב פס <math>L</math>. אזי <math>\forall x\in\mathbb R:\ \sum_{n\to-\infty}^\infty f\!\left(\frac{\pi n}L\right)=\frac{\sin(Lx-\pi n)}{Lx-\pi n}</math>. |
* '''התמרת פורייה בדידה (DFT):''' בהינתן סדרה <math>x=\{x_0,x_1,\dots,x_{N-1}\}</math> של <math>N</math> נקודות, נגדיר את התמרת פורייה הבדידה שלה ע״י <math>\forall k:\ \mathcal F_N(x)_k=X_k=\frac1\sqrt N\sum_{m=0}^{N-1} x_m w^{mk}</math> כאשר <math>w:=\mathrm e^{-2\pi\mathrm i/N}</math>. זו התמרה של <math>N</math> נקודות ל־<math>N</math> נקודות אחרות. | * '''התמרת פורייה בדידה (DFT):''' בהינתן סדרה <math>x=\{x_0,x_1,\dots,x_{N-1}\}</math> של <math>N</math> נקודות, נגדיר את התמרת פורייה הבדידה שלה ע״י <math>\forall k:\ \mathcal F_N(x)_k=X_k=\frac1\sqrt N\sum_{m=0}^{N-1} x_m w^{mk}</math> כאשר <math>w:=\mathrm e^{-2\pi\mathrm i/N}</math>. זו התמרה של <math>N</math> נקודות ל־<math>N</math> נקודות אחרות. | ||
* '''ההתמרת פורייה הבדידה ההפוכה (IDFT)''' נותנת את ערכי הסדרה המקורית <math>x</math> לפי ערכי התמרת פורייה הבדידה <math>X</math> שלה: <math>\forall k:\ \mathcal F_N^{-1}(X)_k=\frac1\sqrt N\sum_{m=0}^{N-1} X_m w^{-mk}</math>. | * '''ההתמרת פורייה הבדידה ההפוכה (IDFT)''' נותנת את ערכי הסדרה המקורית <math>x</math> לפי ערכי התמרת פורייה הבדידה <math>X</math> שלה: <math>\forall k:\ \mathcal F_N^{-1}(X)_k=\frac1\sqrt N\sum_{m=0}^{N-1} X_m w^{-mk}</math>. | ||
שורה 118: | שורה 118: | ||
:* ''שימוש בהתמרת פורייה:'' נסמן <math>\hat u(\omega,t)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty u(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx</math> (כלומר, זו התמרת פורייה של <math>u</math> לפי <math>x</math>). לפי המד״ח <math>\frac{\partial\hat u}{\partial t}(\omega,t)=\frac k{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=k\mathcal F\!\left[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right]\!(\omega,t)=k(\mathrm i\omega)^2\hat u(\omega,t)</math>. פתרונה של המד״ר הזו הוא <math>\hat u(\omega,t)=A(\omega)\mathrm e^{-k\omega^2t}</math>, והצבה של <math>t=0</math> תתן <math>A(\omega)=\hat u(\omega,0)=\hat f(\omega)</math>. עתה נחפש פונקציה <math>g</math> כך שהתמרת פורייה שלה לפי <math>x</math> תהא <math>\hat g(\omega,t)=\mathrm e^{-k\omega^2 t}</math>. לפי ההתמרה של <math>\mathrm e^{-x^2}</math> וכמה מתכונות ההתמרה נקבל <math>g(x,t)=\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{x^2}{4kt}\right)</math> ולכן, לפי משפט הקונבולוציה, <math>u(x,t)=\frac{g(x,t)*f(x)}{2\pi}=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(s)\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{(x-s)^2}{4kt}\right)\mathrm ds</math>. | :* ''שימוש בהתמרת פורייה:'' נסמן <math>\hat u(\omega,t)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty u(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx</math> (כלומר, זו התמרת פורייה של <math>u</math> לפי <math>x</math>). לפי המד״ח <math>\frac{\partial\hat u}{\partial t}(\omega,t)=\frac k{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=k\mathcal F\!\left[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right]\!(\omega,t)=k(\mathrm i\omega)^2\hat u(\omega,t)</math>. פתרונה של המד״ר הזו הוא <math>\hat u(\omega,t)=A(\omega)\mathrm e^{-k\omega^2t}</math>, והצבה של <math>t=0</math> תתן <math>A(\omega)=\hat u(\omega,0)=\hat f(\omega)</math>. עתה נחפש פונקציה <math>g</math> כך שהתמרת פורייה שלה לפי <math>x</math> תהא <math>\hat g(\omega,t)=\mathrm e^{-k\omega^2 t}</math>. לפי ההתמרה של <math>\mathrm e^{-x^2}</math> וכמה מתכונות ההתמרה נקבל <math>g(x,t)=\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{x^2}{4kt}\right)</math> ולכן, לפי משפט הקונבולוציה, <math>u(x,t)=\frac{g(x,t)*f(x)}{2\pi}=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(s)\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{(x-s)^2}{4kt}\right)\mathrm ds</math>. | ||
* '''משוואות גלים:''' נתונה המד״ח <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=k^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (<math>k\ne0</math> קבוע) עם תנאי ההתחלה <math>u(x,0)=\varphi(x)</math> ו־<math>\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x)</math> ותנאי שפה <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה <math>X(x)\cdot T(t)</math> (''שיטת הפרדת משתנים'') ולכן <math>\frac{T''}{k^2 T}=\frac{X''}X=:-\lambda</math> עבור <math>\lambda</math> מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות: <math>\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T''+k^2\lambda T=0\end{cases}</math>, ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל <math>u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)\right)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)</math> כאשר <math>a_n=\frac2L\int\limits_0^L\varphi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx\ \and\ b_n=\frac2{\pi kn}\int\limits_0^L\psi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx</math>. | * '''משוואות גלים:''' נתונה המד״ח <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=k^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (<math>k\ne0</math> קבוע) עם תנאי ההתחלה <math>u(x,0)=\varphi(x)</math> ו־<math>\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x)</math> ותנאי שפה <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה <math>X(x)\cdot T(t)</math> (''שיטת הפרדת משתנים'') ולכן <math>\frac{T''}{k^2 T}=\frac{X''}X=:-\lambda</math> עבור <math>\lambda</math> מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות: <math>\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T''+k^2\lambda T=0\end{cases}</math>, ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל <math>u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)\right)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)</math> כאשר <math>a_n=\frac2L\int\limits_0^L\varphi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx\ \and\ b_n=\frac2{\pi kn}\int\limits_0^L\psi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx</math>. | ||
− | * נתונה מד״ר | + | * נתונה מד״ר לינארית עם מקדמים קבועים. נפעיל התמרת לפלס על אגפי המד״ר, נבודד את <math>\mathcal L[y]</math> (תוך שימוש בהתמרת הנגזרת ובנוסחאות אחרות) ונמצא את ההתמרה ההפוכה שלה. |
גרסה מ־19:08, 23 במאי 2013
תוכן עניינים
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
- פונקציות.
- בהנתן נסמן ו־.
- הם מקדמי פורייה של (בהתאמה) בטור פורייה של , ו־ מקדמי פורייה של בטור פורייה המרוכב.
- היא העצרת הכפולה של , והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם אי־זוגי) מ־1 עד , או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר: ו־.
- אורתונורמלית ו־ אורתוגונלית.
תזכורות ותוספות לאלגברה לינארית
- אי־שוויון הולדר: אם כאשר (כלומר, צמודים) אזי .
- אם אזי .
- ההיטל של על הוא .
- אם בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־ ב־ הוא , כלומר .
- אי־שוויון בסל: .
- תהליך גרם–שמידט: בהנתן בסיס נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי ובסיס אורתונורמלי באופן הבא:
- מרחב הפולינומים ממעלה או פחות מסומן .
- פולינומי לז׳נדר: בהנתן המכפלה הפנימית על מרחב הפולינומים , הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם–שמידט מהבסיס הם ניתן לחשב אותם גם ע״י או , והם מקיימים .
- פולינומי צבישב: בהנתן המכפלה הפנימית על מרחב הפולינומים , הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם–שמידט מהבסיס הם ניתן לחשב אותם גם ע״י (נוסחת רודריגז) או , והם מקיימים .
טורי פורייה
- פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין בקטע יוצרות מרחב מכפלה פנימית עם . מכפלה פנימית שימושית נוספת היא .
- הוא סימון מקוצר ל־.
- מערכת סגורה: נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור את התנאי .
- המערכות ו־ אורתונורמליות סגורות ב־ לפי המכפלות הפנימיות ו־ בהתאמה.
- טור פורייה של ב־ הוא כאשר .
- אם זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
- מתקיים .
- טור פורייה המרוכב של ב־ הוא כאשר .
- מתקיים וכן .
- אם ו־ הסכום החלקי ה־־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של , אזי .
- הוא מרחב כל הפוקנציות ב־ שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה ב־ למעט, אולי, בקצות הקטע.
- משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה): תהי אינטגרבילית בהחלט ב־ ובעלת מחזור . בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור פורייה ב־ מתכנס ל־.
- אם אזי ניתן ליצור המשכה מחזורית שלה ב־.
- אם נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־.
- תופעת גיבס: נניח שבנוסף ו־ נקודת אי־רציפות מסוג ראשון של כך ש־. כמו כן, הסכום החלקי ה־־י של טור פורייה של . אזי קיימת סדרת נקודות המקיימת וכן , וזו השגיאה המקסימלית.
- למת רימן–לבג: אם אינטגרבילית בהחלט אזי כאשר (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
- גרעין דיריכלה: . בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־ שווה ל־.
- אם רציפה ב־ ו־ אז טור פורייה של יתכנס אליה במ״ש על הקטע.
- שוויון פרסבל: אם אזי ו־.
- שוויון פרסבל המוכלל: אם אזי כאשר .
- אם רציפה ב־, ו־ אזי טור פורייה של גזיר איבר־איבר ומתקיים .
- אם אזי ניתן לבצע אינטגרציה איבר־איבר על טור פורייה. בנוסף, לכל ולכל מתקייםוהטורים מתכנסים במ״ש.
- אם קדומה ל־ ב־ אזי .
התמרות פורייה
- הוא המרחב הלינארי של כל הפונקציות המוגדרות מ־ ל־ שהן רציפות למקוטעין ואינטגרביליות בהחלט ב־.
- התמרת פורייה: נקראת "התמרת פורייה של " ומוגדרת ע״י .
- אם אזי מוגדרת ורציפה בכל נקודה . בנוסף, .
- לכל ולכל מתקיים:
- אם ממשית אזי .
- מקרה פרטי: אם ממשית וזוגית אזי והיא פונקציה ממשית.
- מקרה פרטי: אם ממשית ואי־זוגית אזי והיא פונקציה מדומה.
- אם מדומה אזי .
- אם אזי .
- אם אזי .
- אם אזי .
- אם אזי .
- אם ו־ אזי .
- אם מתכנס לכל אזי גזירה ברציפות פעמים ומתקיים .
- התמרת פורייה ההפוכה: אם אזי בכל נקודה שבה קיימות הנגזרות החד־צדדיות מתקיים .
- מקרה פרטי: אם אזי .
- עקרון הדואליות של ההתמרה וההתמרה ההפוכה: תהי המקיימת , ונרצה למצוא את התמרת פורייה של ההתמרה שלה. נוכל להציב ב־, לחלק את שני האגפים ב־ ולקבל .
- אם ו־ ו־ מתכנסים אזי .
- מקרה פרטי: נוסחת פלנשרל (Plancherel): אם ו־ ו־ מתכנסים אזי .
- קונבולוציה: יהיו . אזי .
- אם אינטגרביליות בהחלט אז מוגדרת עבורן בכל וגם היא אינטגרבילית בהחלט.
- משפט הקונבולוציה: .
- שימוש חשוב: נניח שידועות ונרצה למצוא כך ש־. אזי .
התמרות פורייה שימושיות
- (הוכחה ע״י חישוב הנגזרת של האינטגרל שמגדיר את ההתמרה ופתרון המד״ר המתקבלת: ).
- עבור : (כאשר היא הפונקציה המציינת של קבוצה , ומוגדרת ע״י ).
התמרות לפלס
- חסימות מעריכית: נאמר ש־ חסומה מעריכית אם קיימים (חסם מעריכי) ו־ (סדר מעריכי) שעבורם .
- הוא המרחב הלינארי של פונקציות חסומות מעריכית כך ש־ והן אינטגרביליות בהחלט ב־ לכל .
- התמרת לפלס: תהי המקבלת ערכים ב־. אזי נקראת "התמרת לפלס של " ומוגדרת ע״י .
- אם וחסומה מעריכית אזי .
- אם עם סדר מעריכי אז קיימת לה התמרת לפלס ב־.
- משפט התמורה של הנגזרת: תהי עם חסם מעריכי וכך ש־. אזי התמרת לפלס של מוגדרת ב־ ומתקיים .
- קונבולוציה: יהיו . אזי .
- משפט הקונבולוציה: . אם בנוסף עם סדר מעריכי אז מוגדר לכל .
- תהא ונתונה . ממשפט הקונבולוציה עם נקבל .
- פונקציית הביסייד (Heaviside) היא .
התמרות לפלס שימושיות
בהתמרות הבאות, הוא מספר ממשי כרצוננו.
דגימה והתמרת פורייה בדידה
- נקראת "חסומה בתדר" אם . ה־ המינימלי שמקיים זאת נקרא "רוחב הפס" של .
- נניח כי חסומה בתדר ובעלת רוחב פס . אזי .
- התמרת פורייה בדידה (DFT): בהינתן סדרה של נקודות, נגדיר את התמרת פורייה הבדידה שלה ע״י כאשר . זו התמרה של נקודות ל־ נקודות אחרות.
- ההתמרת פורייה הבדידה ההפוכה (IDFT) נותנת את ערכי הסדרה המקורית לפי ערכי התמרת פורייה הבדידה שלה: .
- קונבולוציה: בהנתן שתי סדרות בעלות מחזור הקונבולוציה מוגדרת ע״י .
- משפט הקונבולוציה: (כאשר הכפל מתבצע איבר־איבר).
- מטריצת DFT: התמרת פורייה הבדידה הינה לינארית, לכן קל להגדיר אותה באמצעות מטריצה שתקיים . המטריצה מוגדרת כ־, וזו מטריצה יוניטרית (כלומר ) וסימטרית.
- FFT – Fast Fourier Transform: בעוד שחישוב על פי ההגדרה של התמרת פורייה בדידה הוא בעל סיבוכיות זמן ריצה , תהליכי FFT עושים זאת ב־. יש מספר שיטות כאלו, אנו למדנו רק את תהליך Cooley–Tukey. הפירוט אינו מופיע כאן, אלא בקישור הנ״ל לוויקפדיה.
מד״ח
- מעבר חום: נתונה המד״ח ( קבוע) עם תנאי ההתחלה .
- שיטת הפרדת משתנים: אם נתונים בנוסף תנאי השפה , נניח שניתן להציג את הפתרון כמכפלה . אזי כאשר מספר חיובי (אם אי־חיובי תנאי השפה לא יתקיימו). מקבלים שתי מד״ר נפרדות: . לגבי המד״ר הראשונה, תנאי השפה דורשים ש־ עבור ולכן, עבור נתון, פתרון לכל . לגבי המד״ר השנייה, הוא פתרון עבור נתון. הפתרון הכללי של הוא צירוף לינארי של פתרונות הבסיס: , כאשר מתנאי ההתחלה נובע ש־ מקדמי טור פורייה של ב־.
- שימוש בהתמרת פורייה: נסמן (כלומר, זו התמרת פורייה של לפי ). לפי המד״ח . פתרונה של המד״ר הזו הוא , והצבה של תתן . עתה נחפש פונקציה כך שהתמרת פורייה שלה לפי תהא . לפי ההתמרה של וכמה מתכונות ההתמרה נקבל ולכן, לפי משפט הקונבולוציה, .
- משוואות גלים: נתונה המד״ח ( קבוע) עם תנאי ההתחלה ו־ ותנאי שפה . נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה (שיטת הפרדת משתנים) ולכן עבור מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות: , ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל כאשר .
- נתונה מד״ר לינארית עם מקדמים קבועים. נפעיל התמרת לפלס על אגפי המד״ר, נבודד את (תוך שימוש בהתמרת הנגזרת ובנוסחאות אחרות) ונמצא את ההתמרה ההפוכה שלה.