הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/פתרון מועד א"
(←4) |
(←6 במבחן של שיין והורוביץ) |
||
שורה 146: | שורה 146: | ||
==6 במבחן של שיין והורוביץ== | ==6 במבחן של שיין והורוביץ== | ||
(לקוח ממערכי התרגול של אור שחף) | (לקוח ממערכי התרגול של אור שחף) | ||
− | + | נתונה f פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע, ונתון שקיים <math>\varepsilon>0</math> כך ש-<math>f(x)\ge\varepsilon</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. הוכיחו <math>\frac1f</math> בעלת השתנות חסומה בקטע. | |
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
# מתקיים <math>\forall x\in[a,b]:\ \frac1{f(x)}\le\frac1\varepsilon</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}v(1/f,P)&=\sum_{k=1}^n\left|\frac1{f(x_k)}-\frac1{f(x_{k-1})}\right|\\&=\sum_{k=1}^n\left|\frac{f(x_{k-1})-f(x_k)}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\sum_{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\overset b\underset aV f\\&<\infty\end{align}</math>}}{{משל}} | # מתקיים <math>\forall x\in[a,b]:\ \frac1{f(x)}\le\frac1\varepsilon</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}v(1/f,P)&=\sum_{k=1}^n\left|\frac1{f(x_k)}-\frac1{f(x_{k-1})}\right|\\&=\sum_{k=1}^n\left|\frac{f(x_{k-1})-f(x_k)}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\sum_{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\overset b\underset aV f\\&<\infty\end{align}</math>}}{{משל}} |
גרסה מ־12:39, 5 ביולי 2013
תוכן עניינים
1
שאלת הוכחה מההרצאה
2
חשבו את האינטגרלים הבאים:
א
פתרון:
נבצע הצבה אוניברסאלית לקבל
ב
נבצע אינטגרציה בחלקים לקבל
ג
ניתן לבצע את האלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
או ההצבה באופן הבא:
3
א
קבעו האם האינטגרל הבא מתכנס או מתבדר:
פתרון:
כיוון ש
וכיוון ש מתבדר
שני האינטגרלים חברים ומתבדרים יחדיו.
ב
הוכיחו שאם פולינום שאינו שווה זהותית לאפס, אזי האינטגרל מתבדר.
פתרון:
אם הפולינום אינו זהותית אפס, האינטגרל הלא מסויים שלו בעל מעלה גדולה או שווה לאחד. ולכן
האחרון מתבדר כיוון שהמעלה של q גדולה או שווה לאחד.
4
מצאו את טור מקלורין של הפונקציה וקבעו את רדיוס ההתכנסות של הטור.
פתרון:
ראשית, נשים לב כי .
שנית, נזכר או נפתח את הטור
וביחד נקבל
קל לחשב רדיוס התכנסות של טור זה ולהראות שהוא אינסוף.
5
נגדיר סדרת פונקציות
א
קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע
פתרון:
קל לראות שבקטע זה גבול הסדרה הוא הפונקציה ששווה זהותית אפס, ולכן יש לחשב את הגבול:
נגזור על מנת למצוא את המקסימום:
הנגזרת מתאפסת באפס, לכן המקסימום הוא בקצוות
,
ולכן
ולכן הסדרה מתכנסת במ"ש.
ב
קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע
פתרון:
קל לראות כי פונקצית הגבול בנקודה 1 היא חצי, לכל נקודה גדולה מ1 היא 1 ולכל נקודה קטנה מאחד היא אפס. לכן פונקצית הגבול אינה רציפה, ולכן ההתכנסות אינה במ"ש (שכן התכנסות במ"ש של פונקציות רציפות היא רציפה).
6 במבחן של אגרונובסקי
הוכח כי הפונקציה רציפה בכל הממשיים
פתרון:
- לפי מבחן השוואה גבולי, קל לראות שכיוון שהאינטגרל מתכנס, כך גם האינטגרל לכל אלפא.
- כמו כן קל לוודא כי הפונקציה מונוטונית. (זה לבד מוכיח רציפות פרט למספר בן מנייה של נקודות...)
- תהי a נקודה מסויימת. נבחר M כך ש
- כעת עבור קטן מספיק,
כפי שרצינו...
6 במבחן של שיין והורוביץ
(לקוח ממערכי התרגול של אור שחף) נתונה f פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע, ונתון שקיים כך ש- לכל . הוכיחו בעלת השתנות חסומה בקטע.
פתרון
- מתקיים ולכן